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7.你能用不同方式导出这一结果吗?

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  • 7.你能用不同方式导出这一结果吗?

当最终所得结果冗长而复杂时,我们自然揣测存在着某个更清楚而且少迂 迥的解:你能用不同方式导出这一结果吗?你能一下子看出它吗?即使我们成功 地找出一个令人满意的解,我们可能仍然对找出另一个解感兴趣。就象我们期 望通过两种不同的知觉去感觉到一个物体一样,我们也期望用不同的推导方法 去取得对理论结果的有效性的信心。就象我们看到一个物体后还想摸摸它一样, 在有了一个证明后,我们希望找到另一个证明。

两个证明比一个好。“抛两个锚更安全”。

(1)例子。求正圆台的侧面积S,已知它的下底的半径 R,上底半径r和高h。

这个问题可用各种方法求解。例如,我们可能知道整个圆锥的侧面积的公式。 由于圆台是从圆锥切去一个较小的圆锥而得到的,所以它的侧面积是两个圆锥 侧面积之差;于是剩下要做就是把它用R,r,h来表示。把这个思路付诸实现, 我们最后就得到公式

\(S=π(R+r)\sqrt{(R-r)^2+h^2}\)

在用这种或那种方法求得这结果以后,经过较长的演算后,我们可能希望有一 个更为清楚并且较少迂迥的论证。你能用不同方式导出这结果吗?你能一下子看 出它吗?

为了能直观地看出整个结果,我们可以从尝试看出其各个部分的几何意义开始。这样,我们可能看出

\(\sqrt{(R - r) ^2 + h^ 2}\)

是斜高的长度(圆锥可看作是由一个等腰梯形绕平行两边中点连线旋转而成的,

斜高是该等腰梯形的腰;见图12)。此外,我们还可能发现

\(π(R+r)=\frac{(2πR+2πr)}{2}\)

是圆台两底周长的算术平均值。注意公式的这同一部分也可改写为

\(π(R+r)=2π\frac{R+r}{2} \)

这就是圆台的中截面之周长(这里,我们称平行于圆台上底和下底并等分其高的 平面与圆台的交为中截面)。

在找到各部分的新解释以后,我们现在可以从不同角度来看整个公式。于是,我们可以这样读它:

侧面积=中截面周长×斜高

这里,我们可能回忆坦梯形面积的公式 

面积=中线×高

怎样解题 成长吧啊图12

(此中线平行于梯形的两个平行边并等分其高)。只要直观地看到圆台侧面 积和梯形面积这两种陈述间的类比关系,我们就可以“几乎一下子”看出圆台 的整个结果。这就是说,对于以上经过冗长计算所得到的结果,我们现在感到 非常接近于它的一个简短而直接的证明了。

(2)上面的例子是典型的。我们不完全满足于我们所导出的结果,而希望 去改进它,改变它。因此,我们研究这个结果,尝试去更好地理解它,尝试看 出它的某个新侧面。我们可能对于结果的某一小部分首先成功地观察出一个新 的解释。然后,我们可能相当幸运地发现观察其他部分的新方式。

一个接一个地,审查各个部分,尝试用各种方式去考虑它们,我们可能终于能从不同角度看出整个结果,而我们关于结果的新概念可能给出一个新证明。

人们可能认为,这种现象对于处理某个高级问题的有经验的数学家要比那 些解决某个初等问题的初学者更有可能发生。可是,具有大量数学知识的数学 家比初学者更容易冒滥用知识而使论证不必要地复杂起来的危险。但作为补偿 的是,有经验的数学家比初学者更能重视结果中细微部分的重新解释,并且能 把它们积聚起来,最终重新写出整个结果。

不过,即使在低年级,学生也可能提出一个不必要那么复杂的解。于是, 教师至少一次或者两次指出下列各点,他不但应该指出如何更简捷地解题,而 且也应该指出如何找出存在于结果本身的更简短解答的线索。

参见“归谬法与间接证明“一节。