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63.问题的变化

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  • 63.问题的变化

一个飞虫尝试穿过玻璃窗逃遁,它不断重复同一个毫无希望的动作,不断 撞击玻璃,而不去试试那扇开着的、它原先从那儿进来的窗子。老鼠则比飞虫 聪明,它被捕在鼠笼中,它在两根笼柱之间试试,想钻出去,然后又试试旁边 两根,后来又试试别的柱子;它变化它的试验,它探索各种可能。人能够,而 且也应当能够更聪明地变化他的试验,以更深入的理解来探索各种可能,通过 自己的错误与缺点来学习。“试试,再试试”是个通用的忠告。这是个好忠告。 飞虫、老鼠和人都照这个忠告办事;但若其中一个比其他的办得更成功,这是 因为他更聪明地变化其问题的缘故。

(1)在工作结束时,我们得到了解答,我们对问题的概念比开始时更完整、 更充分。由于我们期望从问题的初始概念进展到更充分、更适当的概念,我们 试验各种立足点,从各个方面观察该问题。

解题中的成功有赖于选择正确的方面,有赖于从好接近的一侧攻击堡垒。 为了找出哪个方面是正确的方面,哪一侧是好接近的一侧,我们从各个方面、 各个侧边去试验,我们变化问题。

(2)问题的变化是必要的。这一事实可用各种方法加以解释。这样,从某 种观点看来,解题中的进展被看作是对早先获得的知识进行了动员与组织的结 果。我们必须从记忆中汲取某些元素并且放进当前的问题中。变化当前的问题, 有利于我们去汲取这样的元素。怎么做呢?

我们记忆事物是通过一类被称为“内心联想”的“接触活动”来进行的; 我们现在脑中的事物倾向于使我们回想过去曾和这事物接触过的东西(这里因 篇幅所限,同时也无必要去对联想的理论作较简略介绍或者讨论其限度)。变化 问题使我们引进了新的内容,从而产生了新的接触,产生了和我们问题有关的 元素接触的新可能性。

(3)没有专心致志,我们不能希望解决任何有价值的问题。但若把我们的 注意力专心致志地集中于同一点上,我们很容易疲劳。为了保持我们的注意力 而又生气勃勃,我们必须不停地变换我们的对象。

如果我们的工作有进展,有事情可做,有新内容要审查,我们的注意力就 会集中,兴趣盎然。但如果工作没有进展,我们的注意力就会松懈,兴趣索然。 一旦我们对问题感到疲劳,我们思想开小差,就会有完全丢失该问题的危险。 为了避免这种危险,我们必须给自己提一个有关这个问题的新问题。

新问题展现了接触我们以前知识的新可能性,它使我们作出有用接触的希 望死而复苏。通过变化问题,显露它的某个新方面,新问题将重新使我们的兴 趣油然而生。

(4)例子。已知棱台的底面是正方形。下底的边为a,上底的边为b,棱台的高为h,求棱台的体积。

这问题可向熟悉棱柱与棱锥体积公式的班级提出。如果学生不能用他们自 己的想法前进,教师可以从变化问题的已知数开始。我们现在从a>b的棱台开始。 当b增加到与a相等时会出现什么情况?棱台变成一个棱柱,而体积成为 a2h。当 b减小到等于0时会出现什么情况?棱台将成为一个棱锥,而其体积成为a2h/3。

这种已知数的变化,首先可以引起对问题的兴趣。其次,它可以提示我们 去以这种或那种方式利用上面所提到的关于棱柱与棱锥的结果。无论如何,我 们已发现了我们最后结果的明确性质;最终的公式必须是这样,当b=a时,它化 简成a2h,当b=0时,化简成a2h/3。预见到我们所打算求的结果具有什么性质这 是一大长处。 这种性质可以提出有价值的建议,而在任何情况下,当我们已 经找到最后公式时,我们可借助这种性质来检验公式。这样,我们就预先回答 了下述问题:“你能检验这结果吗?”[参见“你能检验这结果吗?”一节第(2) 点]。

(5)例子。已知梯形的四个边a,b,c,d。作出此梯形的图形。

我们令a为下底,c为下底;a与c平行但不相等,而b与d不平行。如果没有别的念头出现,我们可以从变化已知数据开始。

我们从一个a>c的梯形开始。当c减小到变为0时发生什么情况?梯形退化成 三角形。三角形是一个熟悉而又简单的图形,我们能用各种数据作图;把这个 三角形引进我们的图中可能会有某些好处。我们只引入一根辅助线,梯形的一 根对角线,便引进了这个三角形(图21)。但我们审查这个三角形时,但我们发 现它几乎没有什么用处;我们已知其两边a与d,但我们应该有三个数据才能作图。

怎样解题 成长吧啊图21

让我们试试别的。当c增加到等于a,会发生什么情况?梯形变成一个平行四 边形。我们能利用它吗?稍许加以审视(图22),我们就会注意到在画平行四边形 时,在原梯形图上所附加的那个三角形。这个三角形很容易作图,因为我们知 道三个数据:其三边为b,d和a—c。

怎样解题 成长吧啊图22

 

变更原问题(作梯形)后,我们得到一个更好接近的辅助问题(作三角形 图)。利用辅助问题的结果,我们容易地解决了我们原来的问题(但必须完成平 行四边形)。

我们的例子是典型的。我们第一次尝试失败了,这也是典型的。但回顾这 点,我们可以看出第一次尝试并非如此无用。在其中含有某些念头;特别是, 它给我们一个机会去想起用三角形作为达到目的的手段。实际上,我们是通过 修改第一次不成功的试验才达到第二次成功的试验的。我们变更c:先试验把它 减少,然后试验把它增加。

(6)如上例所述,我们经常需要试验对问题作各种修改。我们必须一再地 变化它,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到某些有用的东西为止。我 们可以从失败中学习;在不成功的试验中可能存在有好念头,并且我们通过修 改一个不成功的试验可以达到一个较成功的试验。在各种试验以后,我们经常 得到一个更好下手的辅助问题(如上例所示)。

(7)存在着某些变化问题的模式,它们是典型有用的,例如“回到定义去”, “分解与重新组合”,“引入辅助元素”,“普遍化”,“特殊化”,以及利 用“类比”。

(8)在前面第(3)点谈到可引起我们兴趣的新问题,所谈内容对于正确使用 我们的表很重要。

教师可以利用这张表去帮助他的学生。如果学生有进展,无需帮助,教师 就不应当问他任何问题而应任其独自工作,这对他独立工作的能力显然有益。 但当学生停滞不前时,教师当然应该尝试找一个适当的问题或建议去帮助他。 这是因为担心学生对问题感到疲倦而扔下它,或者失去兴趣从而由于纯粹的漠 不关心而铸成大错。

我们在解决自己的问题时也可以利用这张表。为了正确地使用它,我们照 上面例子那样进行。当我们进展顺利时,当新的标记自动涌现时,如果拿一些 多余的问题妨碍我们的自然进展,简直是愚蠢。但当我们进展不顺利,想不起 什么念头,我们则有对问题感到厌倦的危险。这时正是去思索某个有帮助的一 般性念头、或思索表中哪个问题与建议可能合适的好时机。而任何一个可能指明问题新方面的问题,都值得欢迎;因为它可以引起我们的兴趣,可以使我们继续工作、继续思索。