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52.建立方程

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  • 52.建立方程

建立方程就象把一种语言翻译成另一种语言[见“符号”一节(1)]。牛顿 在他的著作《通用数学》中所打的比方可以帮助我们弄清学生和教师所常常遇 到的某些困难的性质。

(1)建立方程的意思是把用文字表达的条件改用数学符号来表示,它是从普 通语言到数学公式语言的一种翻译。在建立方程中所可能遇到的困难是翻译的 困难。

为了把一个英文句子译成法文,有两件事必须做到。第一,我们必须彻底 理解该英文句子。第二,我们必须熟悉法语特有的表达形式。在建立方程时, 情况与此十分类似。第一,我们必须彻底了解条件。第二,我们必须熟悉数学 表达形式。

如果该英文句子可一字对一字地翻译,那么它比较容易译成法文。但是有 些英文成句并不能一字对一字地译成法文。当我们的句子中包含这种成语时, 翻译起来就比较困难了;这时,我们必须少注意孤立的字,多注意整个含义; 在翻译句子之前,可能需要把它重新排列一下。

建立方程时与此几乎雷同。在容易的情况下,文字叙述几乎自动分成接连 的几个部分,每一部分都能直接用数学记号表示出来。在较困难的情况下,条 件的某些部分不能直接译成数学记号。倘若如此,我们应少注意文字叙述,多 注意含义。在我们写出表达式之前,可能需要把条件重新排列,当我们这样做 的时候,我们要同时留意从数学记号宝库中选用什么数学记号。

在所有情况下(不论难或易),我们必须了解条件,把条件的各部分分开, 并且问:你能写出它们吗?在容易的情况下,我们可以立即把条件分成各部分, 并用数学记号写出来;在困难的情况下,条件的适当分法并不那么明显。

在研究过下面例子之后,你应当再读一遍上面的说明。

(2)求两个数,其和为78,其积为1296。

我们把书的一面用直线分成两半。一侧写上已分开成适当部分的文字叙 述,另一侧写上代数符号,与文字叙述中的相应部分相对。即原问题在左,符 号翻译在右。

问题的叙述(表)

怎样解题 成长吧啊

在本例中,文字叙述几乎自动地分成几个相互衔接的部分,每个部分可直接用数学符号表示出来。

(3)求底面为正方形的正棱柱的宽与高,已知其体积为63英寸3,表面积为102英寸2。 未知数是什么?底的一边,设为x。棱柱的高,设为y。 已知数是什么?体积63,面积102。

条件是什么?底为正方形的棱柱,边长为x,高为y,体积须为63,面积须为102。

把条件的各部分分开。这里有两部分,一部分与体积有关,另一部分与面积有关。

我们可以几乎毫不犹豫地把整个条件正好分成上述两部分;但我们却不能 “直接”把这两部分写出来。我们需要知道如何计算体积和各部分面积。但是, 如果我们多懂一点儿几何学,我们不准把此条件的两部分加以重新叙述,使得 译成方程式一事成为切实可行。下面我们在直线左侧所写下的问题基本上经过 重新排列并加了解释以便译成代数语言。

怎样解题 成长吧啊

(4)已知一直线方程及一点的座标,求一点与已知点对称于已知直线。 这是一个平面几何问题。

未知是什么?一点,其座标设为p,q。 已知是什么?直线方程,设为y=mx+n;一点,其座标设为a,b。 条件是什么?点(a,b)与(p,q),彼此对称于直线y=mx+n。

我们现在碰上了基本的困难,即把条件分为几部分,而每一部分都可用解析几何的语言表达出来。我们对困难的性质必须很好了解。把条件分成各部分 的某种分解法在逻辑上可能是无懈可击的,但却于事无补。我们这里所需要的 分解是适合解析表达式的分解。为了找出这样一个分解,我们必须回到对称的 定义去,但我们同时要留意解析几何这个宝库。对于一直线对称,这意思是什 么?什么样的几何关系可以在解析几何中表达得很简单?我们集中力量在第一个 问题上,但我们也不应当忘记第二个。这样,最终我们可能找到一个下面将要 叙述的分解。