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39.帕扑斯

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  • 39.帕扑斯

帕扑斯是生活在公元300年左右的一位希腊数学家。在他的文集第七册中, 他提到了他称之为“analyomenos'’的一个学科分支。我们可把这一名词译成 “分析宝库”或者“解题艺术”,甚或“探索法”;最后一词在这里似更可取。 很容易找到帕扑斯报告的优秀英译本;下面是他原文的意译:

“所谓探索法,简言之,是一种学说的特殊部分,供那些学过普通几何原 理、渴望获得求解数学问题能力的人之用,而且它也仅仅对此有用。它是下述 三个人的工作:几何原理的作者即欧几里得,玻尔加的阿波罗纽斯和阿里斯陶 斯长老。探索法教的是分析与综合的程序。”

“在分析中,我们从需要求解或求证的内容开始,我们假定它成立,由此 得出结果,从这结果又得出结果,直到我们达到可怍为综合的起点的这一点为 止。因为在分析中,我们假定把需要去做的当怍已经做好的(把要求寻找的当作 已经找到的:把必须求证的当作已经成立的)。我们问根据什么前提可以导出所 需要的结果;然后我们又问这个前提的前提可能是什么,如此等等,这样从前 提过渡到前提,直到最终我们遇到某个事物是已知的,或被认为是成立的。此 过程称为分析,或倒退求解,或回归论证。”

“但在综合中,此过程相反,我们从分析中最后达到的一点开始,从已知 的或被认为成立的事物开始。我们从它导出在分析中位于它之前的一项,同时 继续推导,沿各步骤逆向而行,直到最终成功地达到我们所需求解或求证的内 容为止。上述过程称为综合,或构造性求解或前进论证。”

“分析有两类:一类足‘求证题’的分析,其目的是建立为真正的定理;

另一类是‘求解题’的分析,其目的是求解未知数。”

“如果我们有个‘求证题’,我们需要去证明或推翻一个清晰陈述的定理 A。我们至今还不知道A成立还是不成立;但我们从A导出另一定理B,从B导出另 一C,等等,直到我们遇到最后一个定理L,关于它我们有确切的了解为止。假 定我们所有的推导可逆,则若,L为真,A也将为真。从L开始我们证明在分析过 程中位于L之前的定理K,然后,用同样方式前进,我们追溯各个步骤;从C证明B,从B证明A,这样我们就达到了我们的目的,但如果L不成立,则我们也已证明A不成立。”

“如果我们有一个‘求解题’,我们需要找出某个未知数x,它满足清晰 表达的条件。我们至今尚不知是否有什么东西可能满足此条件;但我们假定有 一个x满足所提条件,我们从它导出另一个未知数y,y必须满足有关的条件;然 后我们再把 y与另一个未知数相联系,如此等等,直到我们遇到最后一个未知 数z;我们可以用某个已知方法求得它为止。如果这里确实存在一个z,满足加 于它的条件,则这里也存在一个z满足原来的条件(假定我们所有的推导均可 逆)。我们首先求出 z;接着,知道z以后,我们求出在分析中处于z之前的未知 数:按同一方式,我们按各个步骤反向前进,最后,知道y,我们求得x,于是 达到我们的目的。但是,如果没有什么东西可满足加z的条件,则关于x的问题 无解。”

我们不应该忘记:以上并非直译而仅仅是信手译来,是一种意译。在原文 和意译之间存在着干差万别,由于帕扑斯的文章在许多方面都很重要,所以值 得评注如下:

(1)我们的意译比原文采用了更明确的名词,引入符号 A,B,…,L,X,Y,…,E。而这些原文都没有。

(2)意译有“数学问题”字样,而原文意指“几何问题”。这是强调了帕 扑斯所描述的程序决不限于几何问题;它们,实际上,甚至不限于数学问题。 我们需要举例说明这点,因为在这些情况下,随题目性质而来的普遍性与独立 性很重要(见第3节)。

(3)代数说明。求满足方程8(4x+4-x)一54(2x+2-x)+101=0 的x。这是个“求解题”,对初学者来说并不太容易。他必须熟悉分析的概念; 当然不是指分析这个词而是指通过反复简化以达到目的的概念。还有,他必须 熟悉最简单的几类方程。即使有某些知识,还需要有好念头、一点好运气和一 点创造能力,这样才能看出:由于4x=(2x)2,4-x=(2x)-2,所以引入\(y=2^x\) 可能是有益的。现在,这种代换确实有益,代入后,得到关于y的方程

\(8(y^2+\frac{1}{x^2})-54(y+\frac{1}{y})+101=0\)

这看起来比原来简单。但我们的工作尚未结束。还需要有点创造,即引入另一 个代换,

\(z=y+\frac{1}{y}\)

它将条件变换成

\(8z^2-54z+85=0\)

如果解题者熟悉二次方程的求解,则分析到此结束。

什么是综合?这就是一步一步地做完这些由分析所预见到的可能的计算。 解题者完成他的问题并不需要什么新念头,计算各个未知数时只需要耐心与注 意。计算的顺序恰与创造时的顺序相反:首先求z(z=5/2,17/4),接着求y(y=2,1/2,4,1/4),最后是原来所要求的x(x=1,-1,2,-2),综合是沿着分析的 步骤逆向而行。在本例,很容易看出为什么要这样做。

(4)非数学的说明。一个原始人希望渡过一条小河;但他不能用通常的办 法渡河,因为昨晚已经涨水了。于是,渡河成为一个问题的对象;“渡河”即 这个原始问题中的x。这个人可能回想起他曾沿着一棵倒下的树渡过其它几条 河。于是他到处寻找一棵合适的倒下的树,这就成为他的新的未知数y。他找不 到合适的树,但有大量的树立在河边;他希望其中有一棵能倒下来。他能使一 棵树倒下来横跨这条小河吗?这是个了不起的念头,并且这里有一个新未知数: 用什么办法能弄倒这挺使之磺跨小河。

如果我们接受帕扑斯的术语,这一串念头应称之为“分析”。如果这原始 人成功地完成了他的分析,他可能就成为桥与斧头的发明人了。什么是综合? 就是把念头化为行动。综合的最后一个行动是沿着一棵树走过小河。

在分析与综合中充满了相同的对象;它们锻炼了人在分析中的脑力和在综 合中的体力;分析存在于思想之中,而综合则存在于行动之中。还育一个区别: 次序一正一反。走过河去是第一个愿望,分析由此开始,但它又是最后一个行 动,综合到此结束。

(5)意译比原文稍为更清楚地提示出分析与综合之间的天然联系。经过前 面一些例子,这种联系更明显了。分析自然先仃,综合后继;分析是创造,综 合是执行;分析是制定一个计划,综合是执行这个计划。

(6)意译保留了甚至强调了原文中的某些占怪的句子:“把需要去做的当 作已做好的:把要求寻找的当作已经找剑的,把必颂求证的当作已经成立的。” 这是矛盾的,假定我们所必须斛决的问题已经解决了,这不是自欺欺人吗?这是 含糊不清的,它的意思指什么?如果我们紧密地联系其上下文,并且老老实实地 尝试去体会我们自己在解题方面的经验,则对它的意思就很少会疑惑不解了。

我们首先考虑一个“求解题”。让我们称未知数为x,已知数为a,b,c。 “把问题当作已经解决的”这意思是说假定存在一个满足条件的x——即具有条 件所规定的关于数据a, b,c的那些关系。我们作出这个假定,不过是为了开 始分析,它只是权宜之计,但又无伤大雅。这是因为,如果没有这样的对象, 则不论分析把我们带向何方,它势必把我们引导到最终无解的问题,于是它将 表明我们的原问题无解。所以这种假定是有用的。为了检验所给条件,我们必 须看出,或在心里描述,或几何地想象出条件在x与a,b,c间所规定的各种关 系;如果不把x看成(或描述成,或想象成)是存在的,我们又如何能做到这点呢? 最后,上述假定又是顺乎自然的。这原始人(他的想法和所作所为我们在评注4 中已经讨论过),远在他真正渡河以前,就先想象他自己走在一棵倒下的树上渡 过了河;即他先把他的问题看成是“已解决的”。

“求证题”的对象是证明某个定理A。正式作出“假设A成立”的建议导致 从定理A导出一系列结果,虽然A尚未得到证明。从一个尚未得到证明的定理推 出一系列结果,可能会使具有某种心理性格或某种哲理的人们退避三舍;但这 样的人无法开始分析工作。

请与“图形,(2)”中的内容相比较。

(7)在上述意译中两次出现下述重要句子:“假定我们所有的推导可逆。” 这是对原文的篡改;原文并未包台这类内容,而在现时代,已经察觉到缺少这 样一个假定并提出了批评,参见“辅助问题,(6)”中可逆化归的概念。

(8)在意译中听阐述的“求证题的分析”在字句上与原文十分不同,但意 思没变,无论如何,我们并没有改变它原意的企图。“求解题的分析”在意译 中则比原文更具体。原文的目标看来是描述多多少少更一般化的程序,构造一 个等价辅助问题链,这在“辅助问题”一节第(7)点中已有叙述。

(9)许多初等几何教科书在分析、综合及“假定问题已解”这方面,只作 了少量的说明。人们几乎不怀疑:这种近乎根深蒂固的传统,可追溯到帕扑斯 的时代,虽然目前几乎没有一本流行教科书的作者表明他对帕扑斯有任何直接 的了解。这个题目很重要,应当在初等教科书中提到,但却很容易误解。单凭 它局限于几何教科书这一点来说,就说明普遍地缺乏了解(参见上面第(2)点评 注)。如果上面各个评注能促进对这件事的了解,则它们所占篇幅也就无可非 议了。

对于其他的例子,不同的观点以及进一步的评论参见“倒着干”一节。

还可与“归谬法与间接证明,(2)”的内容作比较。