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3 、感 叹号!

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  • 3 、感 叹号!

我可以告诉你,爱情中的单相思可真是件令人痛苦的事.事情是这样的:我爱数学,而数学却对我完全是冷酷无情的.

我自信数学的基础知识倒还掌握得不错,但一到需要敏锐的洞察力的时候,她就去另觅新欢,对我不感兴趣.

我对这一点很明白,因为间或我有兴致操起纸笔探究一些伟大的数学发现,但我所取得的结果迄今只有两种:(1)完全正确的发现,但却已陈旧过时;(2)完全是创新的发现,但却是谬误百出.

比如说(就举所得第一种结果的例子来说吧),当我还在很年青的时候,我就发现,连续的奇数之和是连续的平方数,即:1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,等等.但不幸的是,毕达哥拉斯(Pythagoras)①早在公元前500年就得出了这个结论;我想,某一个巴比伦人早在公元前1500年就知道这一点了.

第二种发现的例子可举费尔马(Fermat)末项定理②.二、三个月以前,我正好在思考这个问题,突然有一丝灵感闯进我的天灵盖,使我豁然开朗.我能够以极简单的方法来证明费尔马末项定理!

我只消告诉你,整整三个世纪以来,最伟大的数学家们都为费尔马末项定理而绞尽脑汁,他们用越来越复杂的数学工具来验证它,但全都失败了.你就可以意识到,用一点也不比普通的算术推理更复杂的方法就可以成功地解决这个问题,这对我来说,该是多么无可比拟的天才的灵感啊!

这种得意忘形的胡言乱语倒并没有使我完全看不清这样的事实,即我的证明取决于一条假设,而这条假设是我可以轻而易举地用纸和笔来加以验证的.我跑上楼,冲进书房,想把这条假设验证一番,并极为仔细地逐步加以推导,使我脑壳里所有的光辉不要受到丝毫不悦的影响.

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① 毕达哥拉斯,古希腊伟大哲学家及数学家,生卒年份约为公元前580~497年.译者注.

② 我不拟在此对之进行讨论.只消这么说,这个问题是现在还不能解答的最著名的数学问题.原注.

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我可以肯定,你猜对了.不消几分钟,我的假设就被证明是彻头彻尾荒谬的,费尔马末项定理最后还是没有能证得,当我失望而苦恼地坐到书桌面前时,我的光辉暗淡了下来,成了平常不过的白昼的亮光而已.

然而,在我完全恢复常态之后,我就把刚才的那段插曲以略带满意的心情回顾了一下.不管怎么说,有那么五分钟的时间,我曾以为我马上会被公认为当代世界上最伟大的数学家,在这么一段时间里,不能用言语来表达我的那种感受有多么美妙!

但是,总的说来,我认为正确的、旧的发现(无论多么渺小)毕竟要比新的、错误的发现(无论多么重大)来得好.因此我想把我在前几天刚刚得出的一点小小的发现在你面前炫耀一番,以博你一笑.但我可以肯定,这个发现实际上已经有三百多年的历史了.

不过,我却从来没有在任何地方看到过它.因此,我准备把这项发现称为阿西莫夫级数,除非读者诸君来信告诉我:谁、在什么时候最早指出过这个级数,否则我就将把这个名称沿用下去.

首先,让我把基本思想阐明一下.

我们可以用下式作为开端:\((1+\frac{1}{n})^n\),其中可令 `n` 为任何整数.我们不妨用几个整数来试一下.

若 `n=1`,则上式变为 \((1+\frac{1}{1})^1\);若 `n=2`,则上式变为 \((1+\frac{1}{2})^2\) 或 \((\frac{3}{2})^2\)\(\frac{9}{4}\)等于2.25;若 `n=3`,则上式变为 \((1+\frac{1}{3})^3\)或 \((\frac{4}{3})^3\) 或 \(\frac{64}{27}\)等于2.3074.

我们可以把一些不同的n的值代入上式,制成表l:

数的趣谈,成长吧啊

可以看到,n的值越大,则 \((1+\frac{1}{n})^n\) 的值也就越大,然而,随着n的增加,该式的值的增加变得越来越慢.当n从1增加一倍变为2时,该式的值增加0.25但当n从100增加一倍到达200时,该式的值只增加0.0113.

该式的连续的值形成一个“收敛级数”,它不断趋近一个确定的极限值.即n的值越高,该式的值就越接近某个极限值,但永远不会等于这个数值(更不要说是超过它了).

已证明当n无限递增时,\((1+\frac{1}{n})^n\) 的极限值是一个无穷小数,习惯上用符号e来表示.

事有凑巧,e这个数对于数学家们来说是极为重要的,他们已用计算机对它作了计算,直到小数几千位.写出它的五十位小数也许够了吧?好,让我把e的值写在下面:

e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……

你可能会奇怪,数学家们怎样把该式的极限算到小数后而这么多位的呢?即使我们把n 增加到200,解出 \((1+\frac{1}{200})^{200}\) 也只能得出e的精确到小数二位的值.我也无
法使n到达更高的值了,我是用我图书馆里最好的数学用表——五位对数表来解n=200时这个方程的,在这种情况下,对于解出n超过200时的值,这些对数表是不够精确的.事实上,连我本人对自己所算出的n=200时的值也是半信半疑的.

幸而,另有一些可以确定e值的方法.试考察下面的级数:

\(2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+\cdots\)

就我在上面所给出的几个数来说,这个级数共有六项,其逐项之和为:

czbaa,成长吧啊,数学趣谈

换句话说,用六个数字作一个简单的加法,就可以完全不需要对数表而求出精确到小数后面三位的e的值.

如果在上述级数中再加入第七项,然后第八项等等,就可以获得e的准确到令人吃惊的更多的小数位数.其实,计算机所获得的e的直到小数几十位的值,也是用了上述级数,将级数中的几千项分数相加面得出的.

但如何说出该级数的下一项是怎样的一个分数呢?在一个有用的数学级数中,应当有某种方法来根据前几项推出每一项.假定某级数就前几项是 \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots\),那么就可以毫无困难地把以后的各项写出来\(\cdots \frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots\);同样,如果一个级数的前几项是 \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\),也能够有把握地写出其后的各项:\(\cdots \frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\cdots\)

实际上,一些数学爱好者也经常玩一种有趣的游戏,就是给出一个级数的前几项,然后要你说出它的下一项,这儿有两个简单的例子:

2,3,5,7,11……
2,8,18,32,50……

由于第一个级数是一系列连续的素数,显然下一个数就是13;而第二个级数则由这样的一些数组成,它们是各连续整数的平方的二倍,故下一项就是72.

但我们又怎样来对付这样的一个级数

\(2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+\cdots\)

它后而的一个数又是什么呢?

如果你知道的话,答案当然是显然的,但如果你过去并不知道,那么你曾否亲自把它找到过呢?而你现在仍不知道的话,你有办法把它找出来吗?

为了说得直截了当些,让我把话题来个大拐弯.

你们都读过多洛锡·塞尔斯(Dorothy Sayers)①的小说《九个裁缝》吗?我在很多年前曾读过这本书,这是一部谋杀小说,但书中所讲的谋杀、人物、情节以及其他内容我都已忘得一干二净了,只记得其中的一件事,这件事与“打钟游戏”有关.

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① 多洛锡·塞尔斯,英国散文家、剧作家和小说家,公元1893~1957年.译者注.

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显然(我是在读那本书的时候慢慢地得出的),在打钟游戏中,我们从一组可以打出不同音调的钟着手,每人拉着其中一口钟的绳子,依次打响这些钟:do,re,mi,fa等等.接着,大家再以不同的次序来打响这些钟.然后,大家再以另一种不同的次序来打响这些钟,然后,再以又一种不同的次序来打……

可以这么打下去,直到这些钟所可能打出的所有次序(或“变化”)全都打出为止.在打钟的时候,必须遵循一定的规则,比如说,每口钟打的顺次与其在上次打的顺次相比不能超过一个顺次,在各种打法变化中有不同的改变顺次的方法,这些方法本身就是颇有趣的,然而我在这儿所关心的只是与一定数目的钟相联系的所有可能的变化的总数.

让我们用感叹号来作为钟的特号,(!)表示钟舌,这样我们就可以把一口钟写成1!,把两口钟写成2!,余者类推.若钟数为零,则只有一种打法——不打,因此0!=1,钟数为1(假定有钟的话,则此钟必打),也只有一种打法——“嘡”因此1!=1.若钟数为二,即a和b,则有两种打法:ab和ba,故2!=2.

教堂的钟数的趣谈,成长吧啊

我在正文中用来说明阶乘数的钟在各种文化中都是极为普通的东西,在我们的文化中,与钟关系最密切的是教堂.在现代时计发明之前的日子里,用打钟来向全体居民报告时间,比如通知居民们作祈铸等,是一种普遍使用的办法.1974年我曾在英国牛津呆过,一个星期天早上,钟乐开始奏响了,然后就奏个不停,其声音之响简直无法言喻,正如有一次罗伯特·海因莱因(Robert Heinlein)说的:“哪一个夜总会要是只发出那怕是它的一半响声的话就会因为公害的罪名而马上被迫停业.”

钟还可以在火灾时或敌军进犯时等等作为报警之用.在雷雨时也经常打钟,企图似此驱散雷电,由于在中世纪的城镇或早期的新式塔楼中,教堂的钟楼往往是最高的建筑物,故它常常为雷电所击,打钟非但不能驱散雷电,相反有许多打钟师被雷电击毙.

至于对打钟游戏来说,我在正文中说到的“九个裁缝”所打出的变化数根本算不上是最多的.在打钟游戏中可以用到多达十二口钟,用那么多的钟来打出的变化数才能称得上是“最多的”.事情也许是这样,因为对于十二口钟,除了打出它的一部分的变化外别无他法,把十二口钟中的每一种可能的编排次序全都
挨次打到的话,每口钟就将会有479,001,600种不同的打法.打钟游戏“最少的”可由四口钟来做,只需三十秒钟就可以把这组钟的所有变化全都打完,“最多的”得花上四十年!

打钟游戏与英国的教会关系尤为密切,它原先是一种绅士们的娱乐活动,故《九个裁缝》一书中说到彼得·温姆塞勋爵打响了一口中音钟.

三口钟a、b、c可以有六种打法:abc、acb、bac、bca、cab和cba,此外不能再有别的打法了,故3!=6.四口钟a、b、c、d可以有二十四种不同的打法.我不准备在这儿把这些打法全部列出,你可以自己这样开始编排一下:abcd、abdc、acbd和acdb,看看还能列出多少种的变化.如果你能列出四个字母的二十五种截然不同的排列次序,你就动摇了数学的整个基础.但我认为你是做不到这点的,总之,4!=24.

同样(把我所说的方法再用一下),五口钟可以打出120种不同的变化;六口钟可以打出720种不同的变化,故5!=120,6!=720.

我想你现在已经看出规律来了.如果我们再观察一下给出e值的级数:\(2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+\cdots\)并把它写成:

\(e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots\)

这样,就可以知道如何得出式中以后的一些分数,它们是: \(\cdots+\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}+\frac{1}{9!}\),等等,无穷继续下去.

要得出 \(\frac{1}{7!}\) , \(\frac{1}{8!}\) 和 \(\frac{1}{9!}\) 这样一些分数的值,必须知道7!,8!和9!的值,而要知道这些值又必须算出七口、八口和九口一套的钟能够打出不同变化的数目.

当然,如果打算把所有可能的变化都列出并把它们数上一数.怕得化上整整一天的时间;不仅如此,而且还会把你搞得稀里糊涂、头昏脑胀.

因此,让我们来找找看,有没有更为迂回的方法.

我们还是先从四口钟说起,因为钟数再少便不存在什么问题了.我们首先应该打哪一口钟呢?当然,四口钟中随便哪一口都行,所以我们对于第一口钟就有四种可能的选择,对于这四种选择中的任何一口,都可以选择余下三口钟中的任何一口(即除了已选定为第一口之外的那几口钟)作为第二口钟,因此,对于前面两口钟,就有4×3种可能性.我们对于这些选择中的每一种都可以选择余下的两口钟中的任何一口放在第三位,因此对于前面三口钟,就有4×3×2种可能性.对于这些可能性中的每一种,只剩下一口钟可以放在第四位.因此对于所有的四种位置,有4×3×2×1种排列.

那么,我们就可以说,4!=4×3×2×1=24.

如果我们求出任意口数钟的可能的变化,我们将得出同样的结论.比方说,对于七口钟,其变化总数是7×6×5×4×3×2×1=5,040.我们可以说,7!=5,040.

(用于打钟游戏的钟数一般为七口,称为一套“谐音调的钟”.如果每6秒钟把所有的七口钟都打上一遍,这样,要把这一套钟的所有变化全部打上一遍即5,040遍的话,就得化上八小时另二十四分钟的时间,而且这还是理想的情况,即打的时候还不准出错.所以说打出变化还不是件容易的事哩!)

其实,符号“!”并不真正表示“钟”(这仅仅是我为了引入话题而自已设想出来的一种方法).在这种情况下,它代表“阶乘”这个词,即4!是“四的阶乘”,7!是“七的阶乘”.

这些数字并不仅仅表示一套钟所能打出的变化,也可以表示若干张纸牌所能洗出的次序,或若干人在桌子边所能排出的座次,等等.

我从来没有见到过关于“阶乘”这个术语的解释,但我可以给它一种在我看来显得颇为合情合理的解释.由于5,040= 7×6×5×4×3×2×1,它可以被其中所含的1到7这七个数中的每一个数整除.换句话说,从1到7的每个数字都是5,040的因子,那么,为什么不能把5,040称为“七的阶乘”(七个因子的连乘积)呢①?

我们可以推而广之,从1到n的所有整数都是n!的因子,因此为什么不把n!叫做“n的阶乘”呢?

现在,我们可以看到,用级数来决定e的值,确是一个很好的方法.

阶乘数的值以极大的速度增加着,从表2(仅仅只到15!)就可以清楚地看出这一点.

数的趣谈,成长吧啊

随着阶乘的值迅速增加,以阶乘值为分母的分数值就必然急剧递减.在达到 \(\frac{1}{6!}\) 的时候,其值仅为 \(\frac{1}{720}\) 而在达到 \(\frac{1}{15!}\) 的时候,其值要比一万亿分之一更小得多.

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① 英语中“因子”一词为factor,“阶乘”一词为factorial,两者从拼法上看来有联系,故作者作此解释.译者注.

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以这些阶乘为分母的分数,每一项都大于该级数其后所有各项之和,即 \(\frac{1}{15!}\) 大于 \(\frac{1}{16!}+\frac{1}{17!}+\frac{1}{18!}+\cdots\)等等、等等无穷项分数全部加在一起的和.而且随着级数的向后递进,某一项分数在该项与其后所有项分数的总和中所占的比重也在增加.

因此,假定我们把该级数之和一直加到 \(\frac{1}{14!}\) , 其值比该级数实际值少 \(\frac{1}{15!}+\frac{1}{16!}+\frac{1}{17!}+\frac{1}{18!}\) 等等、等等.然而,我们可以说,其值比实际值少 \(\frac{1}{15!}\) 因为该级数的其余各项之和与 \(\frac{1}{15!}\) 相比之下是微不足道的,而 \(\frac{1}{15!}\) 的值又小于一万亿分之一,换句话说,小于0.000000000001,故把一打稍多些的分数相加,所得的e的值就能精确到小数十一位.

假定我们把该级数的各项相加一直到 \(\frac{1}{999!}\) (当然是用计算机),如果这么做的话,我们所得的值就比e的的实际值少 \(\frac{1}{1000!}\) , 要知道这个数有多大,只须对1000!的值有多大有个概念就可以了.可以通过1000×999×998…等等来把它计算出来,但我奉劝大家切勿尝试,那得花上不知多少时间呢.

幸好,有一些公式可以求得大的阶乘值(至少是近似值),还有一些给出这些大阶乘值的对数表.

可以查得,`\log 1000!=2,567.6046442`,这就是说,`1000!=4.024×10^{2567}` 或(近似地)在4的后面跟上2,567个零.如果e的值被算到 \(\frac{1}{999!}\) 则其值比实际值只少 \(\frac{1}{4×10^{2567}}\), 所获得的e的值将精确到小数2,566位(我所知道的e的最佳值已被计算到小数60,000位以上). 

恕我再离题一次,因为我想起我对中等大小的阶乘值曾有过一次切身的应用.那时我在军队,有一个时期,我曾整天同三个病友泡在一起,整日整夜玩桥牌,有一天,一位牌友用拳头狠捶了一下牌桌,打断了牌局,嘴里说道:“我们玩了这么多付牌,我手里又开始抓到同样一付牌了.”真是谢天谢地,因为这么一来,就有了可供我思考的东西了.

桥牌桌上牌的各种次序意味着每人抓到牌的各种不同的可能性,由于牌的张数为52,故排列的总数共有52!种.然而,在每人抓到的某一付的十三张牌总是同一回事,而每人抓到的十二张牌的排列总数共有13!,且对所有四位牌手来说,这个情祝都是一样的.因此,玩桥牌者手中牌的组合总数等于52张牌的排列总数除以那些与次序无关的排列的总数,或者说,等于:

\(\frac{52!}{(13!)^4}\)

我手头没有数学用表,因此只得全部靠笔算来做完这长长的计算.但这并没有使我感到扫兴,因为把自已的时间全部用于自已的爱好,要比用在打桥牌上更使我愉快.我早已遗失了当初得出的答案,但现在我可以借助数学用表来把它再重算一遍.

52!的数值大约是 `8.066×10^{67}`,13!的数值大约是(可从我给出的上述阶乘表内查出)`6.227×10^9`,而该值的四次方约为 `1.5×10^{39}`.若将 `8.066×10^{67}` 除以`1.5×10^{39}` 得出可能的不同牌局的总数约为. `4×10^{28}` 或54,000,000,000,000,000, 000,000,000,000或5,400亿亿亿局.

我把这个结果对牌友们说了,我说:“看来我们是不会再次碰到已经打过的那局牌的,如果每秒钟玩一万亿盘牌,那么连玩十亿年也不会碰到一盘重复的牌.” 

但是我得到的报应是遭到了彻头彻尾的怀疑.那位起先抱怨的朋友很和气地对我说:“但是朋友,你知道,牌只有52张啊!”说着就把我领到军营里的一个僻静的角落,要我在那里冷静一会儿.

实际上,用来决定e的值的级数仅仅是某一般情况的一个特例.可以表示为:

\(e^x=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\)

由于对任何的x值来说,都有 `x^0=1`,且0!与1!均等于1,故通常把上述级数的开头表示为:

\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\)

但我还是喜欢我在上面给出的那种表达式,它比较对称和美观.

现在,可以将e本身表示为 `e^1`,这时,一般级数中的x变为1.由于1的任何次幂均为1,故 `x^2、x^3、x^4` 以及x的全部其余次幂均为1,级数就变成:

\(e^1=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots\)

它就是我刚才所研究过的级数.

现在我们来考察e的倒数,即 \(\frac{1}{e}\),其数值的小数十五位为:0.367879441171442……

纸牌

由于阶乘数目的迅速增加,故有可能只用五十二张纸牌来玩无数(说“无数”,是相对于有限的人生而言的)盘的牌.

成长吧啊,数的趣谈

其实,唯一的另一种普通的纸牌游戏是“匹诺克尔(pinochle)”,它是用两付牌来打的,每付牌中只取出各种花色的A、K,Q、J、10和9六张牌,六八四十八,共计只有四十八张牌,这样,阶乘的数目自然要少得多,况且由于两付牌花色的重复,更减少了可能的不同组合数,这意味着在打匹诺克尔时可能出现的不同的组合数只有平常纸牌游戏中可能的不同组合数的1/312,000,000,即使这样,这个相对较少的数目仍足以保证人们在玩匹诺克尔时不必担心碰到重复的牌局.

纸牌游戏今天在世界上流传得如此普遍,但不知为什么,人们总有这么一种想法,觉得它一定是一种古老的、甚至是一种史前的娱乐.可是事实并非如此,它是中世纪时发明的,可能起源于远东,在十二世纪中传入欧洲.也许是马可孛罗(Marco Polo)①或是吉卜赛②人,或是阿拉伯远征者带至西方,但事实究竟如何,恐怕没有人能说确切了.

更奇怪的是,今天我们认为是理所当然的纸牌的两个特点,看来是近来的变化,一个特点是在纸牌的左上角和右下角画上小的标记,这样只须露出牌的一角就可以认出这张牌来,如上图.另一个特点是上下的中心对称,这样无论怎样来拿一张牌,它的右边总是向上的.如果没有这些变化,在打牌的时候将会觉得极为不便.

在纸牌被用作机遇游戏之前,间或也用它来算命即打“塔洛脱”(tarot)”牌.

① 马可孛罗,意大利旅行家,曾远游东方,公元1254?~1324年.译者注.

② 吉卜赛人,原为西亚一流浪民族.现散居亚、非、欧、美洲各地.译者注.

由于 \(\frac{1}{e}\) 可以写成 \(e^{-1}\),这意味着在 \(e^x\) 的一般公式中,可用-1来代替x.

对-1的幂来说,其答案是,-1的偶次幂等于+1,其奇次幂为-1.即:\((-1)^0=1\) ,\((-1)^1=-1\)\((-1)^2=1\),\((-1)^3=-1\)\((-1)^4=1\)等等,余类推.

如果在一般的级数中令x=-1,则:

czbaa,成长吧啊,数学趣谈

换言之,即 \(\frac{1}{e}\)的级数与e的级数十分相象,只有所有的偶数项从加号改变为减号而已.

进而,由于 \(\frac{1}{0!}\) 与 \(\frac{1}{1!}\) 均等于1, 则 \(\frac{1}{e}\) 级数的前二项:\(\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}\) 相当于1-1=0,故可将它们略去不写,我们可以得出:

\(e^{-1}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\frac{1}{7!}+\cdots\)

等等,余类推.

最后,让我们回头来谈谈我个人的发现吧!当查看我刚才给出的 \(e^{-1}\) 的级数时,我不禁想到加号和减号的交替出现是美中不足.能不能找出一种方法,使之表达成只带加号或
只带减号呢?

由于象 \(-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\) 这样的式子可改写成 \(-(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!})\), 所以我看可以把上式改写成下列级数:

\(e^{-1}=\frac{1}{2!}-(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!})-(\frac{1}{5!}-\frac{1}{6!})-\frac{1}{7!}+\cdots\)等等.

现在我们就只有减号了,但也出现了括号,这又是一种有碍美观的东西.

因此我对括号里的内容进行了考虑.第一个括号内包括两项:\(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\), 它等于 \(\frac{1}{3×2×1}-\frac{1}{4×3×2×1}\),即等于 \(\frac{4-1}{4×3×2×1}\) 或 \(\frac{3}{4!}\), 同样得到 \(\frac{1}{5!}-\frac{1}{6!}=\frac{5}{6!}\);\(\frac{1}{7!}-\frac{1}{8!}=\frac{7}{8!}\)等等.

我感到惊异万分,又高兴得难以形容,因为现在我得到了阿西莫夫级数,那就是:

\(e^{-1}=\frac{1}{2!}-\frac{3}{4!}-\frac{5}{6!}-\frac{7}{8!}-\frac{9}{10!}\cdots\)等等,直至无穷.

我敢肯定说,这个级数对于任何真正的数学家来说都是一目了然的;我也相信,这个级数在正式文章中描述已有三百年了,但我却从来没有见到过这个级数.因此,我打算把它
称作阿西莫夫级数,直到有谁站出来阻止我为止.

阿西莫夫级数不仅只含有减号(除了在第一项前面有一个未写出来的正号外),而且依次包括着所有的数字,你再也找不出比它更美的式子了.现在让我们把这个级数的前几项算出来,以作本文的结束吧:

成长吧啊,czbaa,数的趣谈

可见,只消把这个级数的前四项相加,便可以得到一个仅比其精确值达0.0000025的答数,其误差比150,000分之一稍大一些,大约为 \(\frac{1}{1500}\%\).

因此,假定你认为标题的“感叹号”仅仅指阶乘符号的话,你就错了.它甚至更能表达我对阿西莫夫级数的乐趣和惊奇.

又及.为了把阿西莫夫级数中未表示出来的那个正号除去,一位读者(在本章初版后)建议将该级数写成 \(-\frac{(-1)}{0!}--\frac{1}{2!}-\frac{3}{4!}\cdots\),则所有各项将全部为负,即使第一项也不例外.不过,如果照此办理,就不得不把自然数的领域进行扩展,使之包括0和-1,而这将对级数的朴素美略有损害.

另一条建议是用 \(\frac{0}{1!}+\frac{2}{3!}+\frac{4}{5!}+\frac{6}{7!}+\frac{8}{9!}\cdots\)来表示 \(\frac{1}{e}\) , 使它只含有正号,它看上去比负号更美观些(在我看来),但从另一方面来说,它也包括了0.

还有一位读者提出了一条与e本身相似的级数,这条级数是这样的:\(\frac{2}{1!}+\frac{4}{3!}+\frac{6}{5!}+\frac{8}{7!}+\frac{10}{9!}\cdots\)但这样做就把自然数的次序颠倒过来了,也由于它的次序略显凌乱而稍为逊色,但它却给级数以某种美的感觉,是吗?

唉,要是数学也象我爱她那样钟情于我,该有多好啊!