你在这里

24.图形

主标签

  • 24.图形

图形不仅是几何问题的对象,而且对于解答所有各类问题都有很大的帮 助,即使初看起来问题与几何无关。这样,在解决问题方面,我们有两种原因 要考虑图形。

(1)如果问题是个几何问题,我们必须考虑图形。此图形可以存在于我们的 想象之中或是画在纸上。在某些情况下,可能希望对这图形只加以想象而不必 画出它来。但如果我们需要逐个地审查各个细节,则希望画张图。如果细节很 多,我们不能把所有的细节都同时想象出来,但它们却可以同时呈现在图上。 想象的细节图形可能会忘记;但画在纸上的可以保留,当我们再一次看图时, 它可以使我们想起以前的见解,这可省去不少我们重新回忆以前的各种考虑的 麻烦。

(2)现在我们专门讨论图形在几何作图问题中的应用。在开始研究几何作 图问题时,可以画张含有未知数和已知数的草图,所有这些元素都按照问题条 件的规定来配置。为了清楚地理解问题,我们必须分别考虑每一个已知数和每 一部分条件;然后我们把所有各部分重新统一起来,把条件当作一个整体来考 虑,力图同时看到问题所需要的各种联系。没有一张画在纸上的图,我们几乎 不能处理、分开与重新组合所有上述细节。

另一方面,当我们已最终解出问题以前,能不能画出这样一张图仍然是个疑问。问题所提出的全部条件是否可能满足?在我们得到确定的解答以前,我们 没有资格回答:“是”,虽然我们开始时假定过一张图,其中未知数和已知数 的关系满足条件的规定。在画图时,我们作出了似乎没有保证的假定。

不,不是这样。并非一定如此。只要我们没有把可能性与必然性混为一谈, 那么当我们在审核我们的问题时考虑下述可能性没有什么不对,这种可能性就 是:存在某个满足未知数条件的对象并且它和全部已知数都具有所需要的关系。 当法官询问被告时,他考虑被告犯了所谈到的罪行,这种假定并没有什么不对, 只要他并不完全陷入这种假定就行。如果数学家和法官都等到其审核取得某种 肯定结果以后才作出自己的判断。那么他们就可以毫无偏见地对可能性进行审核。

在研究作图问题时,假定条件均满足,画张草图,再开始研究问题这一方 法可追溯于希腊几何学家。帕扑斯有一句简短而有点莫测高深的话说:“设欲 为之者如已为之(Assume what is required to be done as already done)” 以下的建议不那么简练但更清楚:“画张假想的图,图中假定问题的所有各个 部分都满足条件。”

这是针对几何作图问题所作的建议,但实际上并不需要局限于任何如此特 殊的一类问题。我们可以把它拓广到“求解题”,并采用下列一般形式的陈述 方式:“假定问题的条件完全满足,然后对此假设情况加以审核。”

请与“帕扑斯”一节的(6)作比较。 (3)我们对实际画图中的几点进行讨论。 (I)我们画图应当用仪器画得很精确,还是随手近似画画?

两种图形都各有用途。原则上,精确的图形在几何中所起的作用就象精确 测量在物理中所起作用一样;但在实际中,精确图形不如精确测量重要,因为 几何定理比物理定律得到更广泛的证实。初学者作图时则应尽可能精确,以便 能得良好的实验基础;而精确图形对于更高明的人来说,也可能启发出几何定 理。但是对于论证来说,随手细心画的图形通常已足够了,而且这样做要快得 多。当然,这样的图不应当看起来荒诞不经;假定线是直的就不应画成弯弯曲 曲的,圆不能画成个土豆。

一个不精确的图形有时可能给出错误的结论,但这危险不大,而且可以用 各种方法加以避免,特别是用变化图形的方法。如果我们集中注意力于逻辑联 系,并且认为图形是一种辅助工具,决非我们结论的基础,而真正的基础是逻 辑联系,那就不会有什么危险【这一点可由某些众所周知的悖论富有启发性地 加以说明,这些悖论巧妙地利用了图形上故意画得不准确之处】。

(II)重要的是元素必须按所需要的关系来配置,至于按什么顺序来作图倒 并不重要。所以可选最方便的顺序。例如,在说明三等分时,我们需要画两个 角α及β,使α=3β。如从任意一个α开始,我们不能用直尺和圆规作出β。

因此,你选择一个颇小的但却是任意的β,从任意的β开始,你作α是容易的。

(III)你的图形不应给出任何不恰当的特殊情况。图形的各部分不应当呈 现出问题所未要求的明确关系。除非已有规定,线段不应看起来相等,或者垂 直。如果三角形不是等腰的或直角的,就不能画得象等腰三角形或直角三角形。 三个角为45°,60°,75°的三角形,在文字的精确意义方面而言,是和等腰 三角形与直角三角形的形状差别最大的*。如果你想考虑一个“一般的”三角形, 你可以画这样的三角形,或跟它差不多的三角形。

——————————

*:如三角形的三角为α,β,γ,且90>α>β>γ,则在90。-α,α-β,β- γ三个差之中,至少有一个小于15°,除非“α=75°,β=60°,γ=45°。事 实上,易证恒等式

`\frac{3(90- α ) + 2(α - β ) + (β - γ )}{6}=15`

成立。由此式显然可推得上述结论。

(IV)为了强调不同线段的不同地位,你可以使用粗线或细线,实线或虚线, 或者用不同颜色的线。如果你尚未完全决定采用某一根线作辅助线的话,你就 轻一点画它。你可以用红笔画已知元素,而用其他的颜色来强调重要的部分, 例如一对相似的三角形,等等。

(V)为了说明立体几何,我们应当用三维立体模型,还是画在纸上或黑板上的图形?

立体模型好,但不易制作而且售价昂贵。所以,通常我们只能满足于画图, 虽然它们不容易使人印象深刻。使用自制厚纸板模型的某种试验是非常合乎初 学者的需要的。把我们日常周围的事物用来表达几何观念是有帮助的。这样, 一个匣子,一块瓷砖,或者一个教室,都可以用来说明长方体,一根铅笔可以 用来说明圆柱,一个灯罩可以用来说明正圆台,等等。

(4)在纸上画图比较容易,也容易识别,容易记忆。我们特别熟悉平面图, 关于平面图形的问题也特别容易着手。我们可以利用这点优越性:当我们设法 找到那些非几何对象的合适的几何表示时,我们就可以在处理非几何对象时利 用我们处理图形的能力。

实际上,几何表示、各种图形和表格都用于所有的科学中,不仅用于物理、 化学以及自然科学,而且也用于经济学,甚至用于心理学。我们应当使用某种 适当的几何表达方式,力求用图形的语言来表达一切事物,把所有各类问题简 化为几何问题。

这样,即使你的问题不是几何问题,你也可试试去画张图。对于非几何问 题,去找出一个清晰的几何表达方式,可能是走向解答的重要一步。