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23.检验你的猜测

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  • 23.检验你的猜测

你的猜测可能是对的,但是把一个逼真的猜测当作已被证明的真理来看待 却是愚蠢的(原始人常这样)。你的猜测也可能是错的,但是把一个逼真的猜测 完全弃之不顾也同样是愚蠢的(书呆子有时如此)。某类猜测是值得我们加以研究并认真对待的,例如下列猜测:即那些在我们仔细考虑并真正理解了我们所 确实感兴趣的问题之后而提出的猜测。虽然这样的猜测往往很少表明全部真理, 但却至少包含一部分真理。如果我们适当地研究这样一种猜测,我们就有可能 提炼出整个真理。

在许多情况下,猜测最后被证明是错误的,但它们在诱导出一个更好的猜 测方面仍然是有用的。

除非我们没有鉴别能力,否则任何念头都不会真正地坏。如果我们根本就没有念头,那才真正糟糕。

(1)别这样。这里是一个有关约翰·琼斯先生的典型故事。琼斯先生在一家 公司里工作。他曾经希望能长点工资。但他的希望(就象希望常常那样地)落空 了。他的某些同事的工资增加了,而他的工资依然照旧。琼斯先生对此不能无 动于衷。他烦恼不已,并且最后他猜疑布鲁恩董事应对他的不提升一事负责。

我们不能责备琼斯先生产生这样一个怀疑。确实有某些迹象是与布鲁恩董 事有关。真正的错误是琼斯先生在有了那个怀疑以后,对所有相反的迹象视而 不见了。他因固执地相信布鲁恩董事就是他的敌人而庸人自扰,他的所作所为 愚不可及,以致他几乎使该董事成为他真正的敌人。

约翰·琼斯先生的毛病在于他的行为和我们大多数人一样。他永不改变他 的主要意见。他改变他的次要意见倒不少见,并且十分突然;但他对他自己的 意见,无论大小,从不怀疑,并且坚持到底。他从不怀疑他自己的意见,不问 自己这些意见对不对,也从不严格检验这些意见——如果他了解严格检验意味 着什么的话,他将会格外憎恨严格检验。

让我们承认约翰·琼斯先生在一定程度上无可非议。他很忙,他在公司里 和在家里都有任务,他很少有空来怀疑或检验。充其量,他只能检验他信念中 的一小部分,如果他没有时间检验上述那个怀疑,他为什么应当检验呢?

然而我们仍然要奉劝各位,莫学约翰·琼斯先生。莫要让你的怀疑,你的 猜测,或者你的推想不经检验而继续增长以致根深蒂固。从理论上说,在任何 情况下,最好的念头也会因不批判地加以接受而受损,因严格检验而兴盛。

(2)一个数学例子。在周长一定的所有四边形中找出面积最大的一个。

未知是什么?四边形。

已知是什么?四边形周长一定。

条件是什么?所得四边形的面积应大于任何周长相同的其他四边形的面积。

这个问题和通常的初等几何问题很不相同,所以我们自然要从猜测开始。

哪种四边形可能具有最大面积?最简单的猜测是什么?我们可能听见过在所有具有相同周长的图形中,圆的面积最大;对于这种说法似乎可信,我们甚 至可以猜出某些理由。现在,哪种四边形最接近于圆?从对称性来看,哪一种最 接近于圆?

正方形是显而易见的一种猜测。如果我们认真对待这个猜测,我们应当弄 清楚它意味着什么?我们应有勇气写出:“在所有周长一定的四边形中,正方形 的面积最大。”当我们决定检验这个命题时,情况就变化了。本来我们的问题 是个“求解题”,在正式提出我们的猜测以后,我们的问题变成“求证题”了。 我们必须证明或推翻已形成的“定理”。

如果我们不知道任何早已解决的、和我们当前问题相类似的问题,我们可 能会感到我们的任务很棘手。如果你不能解决所提出的问题,首先尝试去解决 某个与此有关的问题。你能解决问题的一部分吗?我们可能想起,如果在四边形 中,正方形与众不同,那么根据同一事实,它必定在长方形中也与众不同。如 果我们能证明下述命题“在所有周长一定的长方形中,正方形的面积最大”, 那么我们将解决我们问题的一部分。

这个定理看起来比前一定理更好着手;当然,它较弱。无论如何,我们应 当弄清楚它们是什么意思;我们应当有勇气更详细地去重新说明它。用代数语 言去重新表述它一遍是有好处的。

邻边为a与b的长方形面积是ab。

与上述长方形具有相同周长的正方形的一边是 `\frac{a+b}{2}` 。这样,正方形的面积是 `(\frac{a+b}{2})^2` 。它应大于长方形的面积,于是我们有

 `(\frac{a+b}{2})^2>ab` 

这成立吗?这一推断可写成其等价形式

`a^2+2ab+b^2>4ab`

这是成立的,因为它等价于

`a^2-2ab+b^2>0` 或 `(a-b)^2>0`

不等式肯定成立,除非a=b,即被审核的长方形是个正方形。

我们尚未解决我们的问题,但由于我们敢于面对我们颇为明显的猜测,我 们得到某些进步。

(3)一个非数学的例子。在某个组字的字谜中,要求我们找出有七个字母 的字,关于这个字的线索是:“Do the walls again,back and forth(重新砌 墙,前与后)。”

未知是什么?一个字。

已如是什么?字长一定,七个字母。

条件是什么?在这个字的线索中说明字与砌墙的关系,但仍很含糊。

因此,我们必须重新研究这个字的线索。当我们这样做时,可能会注意到 线索的最后一部分:“…again,back and forth。”你能解决问题的一部分吗? 这里有个机会去猜测字首。由于如此强调其重复性,这个字很可能是以“re” 开头的。这是个显而易见的猜测。如果我们想相信它,我们应当琢磨它的含义。 要找的字可能是下述模样:

RE……。

你能检验这些结果吗?如果字谜的另外一个字和我们刚才所考虑的字在第一个 字母上交叉,那么该字以R开头。我们转到该字并检验R,这是个好念头。如果 我们检验R获得成功,或者至少没有发现任何反对它的理由,我们就回到我们原 来的字上。我们再次问:条件是什么?当我们重新研究线索时,我们可能注意其 最后面一部分:“…back and forth”。它的含义是否为:“我们所要找的这 个字不仅可以由前向后读,而且也可以由后向前读?”这是一种不那么明显的猜 测[但却有这样的情况,见“分解与重新组合”一节,(8)]。

无论如何,让我们正视这种猜测;我们来体会其含义。字的模样可能如下:

RE…ER.

除此以外,第三个字母应和第五个字母相同;它很可能是个辅音,而第四个字 母(即中间的字母)是个元音。

现在读者可以很容易猜出这个字了。如果还不行,他可以试试所有的元音, 一个接一个地放在字的中心字母位置上。