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20.你是否利用了所有的已知数?

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  • 20.你是否利用了所有的已知数?

由于我们的知识是逐步增加的,我们对问题的概念在结束时要比开始时丰 富得多(参见“进展与成就”一节第1点)。但现在它怎么样了?我们已经得到所 需要的了吗?我们的概念足够吗?你是否利用了所有的已知数?你是否利用了整 个条件?对于求证题,相应的问题是:你是否利用了全部前提?

(1)作为说明,让我们回到第8节(接下来是第10,12,14,15节)中所讲的“长方形问题”。有可能出现下述情况:学生想到了怎样计算一个平面的对角线长 \(\sqrt{a ^2 + b ^2}\),然后他停滞不前了。教师可以帮助他而提问:你利用了所有的已知数吗?这时学生差不多总会看出:表达式 `\sqrt{a^2+b^2}`。中未包含第三个数据c。

因此,他应当试试让c出现。这样一来,他很有可能发现那个关键的直角三角形其二边为 `\sqrt{a^2+b^2}`,和 c而其斜边就是所求的长方体的对角线(见“辅助元素”一节第(3)点,那里有另一个说明)。

我们这里所讨论的问题非常重要。它们在寻找一个解答时的用处在前例中 已很清楚。它们可能帮助我们找出对问题的概念中的弱点。它们可能指出一个 被遗漏的元素。当我们知道有某个元素仍被遗漏时,我们自然会设法让它出现。 这样,我们就有了线索,就有了明确的探索途径,就有了好机会去找到关键的 思路。

(2)所讨论的问题不仅对构造一个论证有帮助,而且对检验它也有帮助。 为了更具体些,我们需要检验一个定理的证明,其前提包含三部分,所有这三 部分对于定理的成立都是必要的。这就是说,如果舍去前提的任何部分,定理 将不成立。因此,如果证明时,忽视了利用前提的任一部分,则证明必有错误。 此证明利用了全部前提吗?它利用了前提的第一部分吗?哪儿用了前提的第一部 分?哪儿用了第二部分?哪儿用了第三部分?回答所有这三个问题,我们就检验了 证明。

这类检验是有效的,富于启发的,并且当论证冗长而复杂时,为了彻底理解它几乎是必不可少的(见“聪明的读者”一节)。

(3)我们所讨论的问题以审查我们对问题的概念的完整性为目的。如果我 们没有把任何主要的数据,或条件,或前提考虑进去,那么我们的概念肯定不 会完整。但如果我们不体会某个主要术语的意义,则我们的概念也不完整。因 此,为了检查我们的概念,也应该提问:你已考虑了问题中所包含的所有必要 的概念吗?(见“定义”一节第(7)点)。

(4)不过,对上述说明需加小心并加以某些限制。实际上,它们只能直接用于“陈述完善的”而且“合理的”问题。

一个陈述完善的而且合理的“求解题”必须具有所有必需的已知数,而没 有任何多余的已知数;并且它的条件必须恰好充分,既不矛盾,也不多余。在 解决这样一个问题时,我们当然必须利用所有的已知数和整个条件。

求证题的对象是数学定理。如果问题是陈述完善的并且是合理的,那么定 理前提中的每一句对于结论都是必要的。证明这样一个定理时,我们当然必须 利用前提中的每一句话。

在传统的教科书中所提的数学问题被假定是陈述完善的,合理的。但我们 不应该过分信赖这点;即使有最微小的怀疑,我们也应该问:“满足这条件可 能吗?”试图回答这个问题,或者其他类似问题,我们可以至少在某种程度上相 信我们的问题提得正确,正如所假设的那样。

只有当我们知道我们面前的问题的陈述是完善的,合理的,或者我们至少 没有理由作相反的猜测时,我们才能原原本本地提问本节所提到的问题以及与 之有关的问题。

(5)有些非数学问题在某种意义上也是“陈述完善的”,例如,精彩的棋 局假定只有一个解并且在棋盘上没有多余的棋子,等等。

但“实际问题”通常远非“陈述完善的”,从而需要对本节所提的问题认 真地重新予以考虑。