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第十章 欧拉对数论的贡献

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第十章

欧拉对数论的贡献

(1736年)

 

费马的遗产

我们已经了解了欧拉在计算复杂的无穷级数方面的成就。他的这些研究属于称作“解析法”的数学分支,他的发现在这一数学分支中显得特别重要和意义深远。但是,如果不介绍他在数论领域中的贡献,就不免是一大疏忽。欧拉在数论这一数学分支中也是当行出色的。我们前面曾讲到过一些有关数论的问题,在第三章,我们介绍了欧几里得关于素数无穷性的巧妙证明;我们还在第七章里介绍了费马关于数论的卓有见地的评论和猜想。如前所述,费马没有能够提供证明,而且,从费马到欧拉的100年间,数学界在证明费马猜想方面进展甚微。造成这种停滞的原因很多,一方面是由于17世纪末对微积分的新发现垄断了数学研究的方向,另一方面是由于数论对任何实际问题缺乏实用性,还有一部分原因是因为费马的猜想对于许多数学家来说,难度太大了。

欧拉对数论的兴趣是由克里斯蒂安·哥德巴赫引起的。关于哥德巴赫猜想,我们在第三章的后记中已作过简要介绍。哥德巴赫被数论问题深深地吸引住了,但是,他的热情远远超过了他的才能。他与欧拉一直保持着密切的通信联系,最初,是哥德巴赫告诉欧拉许多有关费马未证明的猜想,并引起了欧拉的注意。开始,欧拉似乎无意研究这些问题,但是,由于他自己无止境的好奇心和哥德巴赫的坚持,欧拉终于涉足其间。不久,他就被数论,特别是被费马一系列未证明的猜想深深地迷住了。正如现代作家兼数学家安德烈·韦尔所述,“……在欧拉(有关数论)的著作中,有相当一部分旨在证明费马的猜想。”在此之前,欧拉的数论著作在他的《全集》中已占了整整四大卷。人们认为,在他的科学生涯中,即使没有其他成就,这四卷著作也足以使他跻身于历史上最伟大的数学家之列。

例如,费马曾推测,某些素数可以写成两个完全平方数之和,欧拉对此作出了证明。显然,除2以外,其它所有素数都是奇数。当然,如果我们用4去除一个大于4的奇数,我们一定会得到余数1或3(因为4的倍数或4的倍数加2是偶数)。我们可以更简明地说,如果p>2是素数,那么,或则p=4k+1,或则p=4k+3(k是整数)。1640年,费马曾猜想,第一种形式的素数(即4的倍数加1)可以并且只能以一种方式写成两个完全平方数之和的形式,而形如4k+3的素数则无论以什么方式都不能写成两个完全平方数之和。

这是一个独特的定理。例如,素数193=(4×48)+1可以以一种唯一方式写成两个平方数之和。对本例,我们可以很容易地证明,193=144+49=122+72,而其他任何形式的平方和都不能等于193。另一方面,素数199=(4×49)+3绝对无法写成两个平方数之和的形式,这同样可以通过列出所有可能的形式来证明其不可能性。因此,我们在这两种形式的(奇)素数之间,就其表达为两个平方之和而言,发现了根本的差别。这是一个无法预料或凭直觉预测的性质。但欧拉在1747年对此作出了证明。

我们再来看另一个例子。我们在第三章后记中曾讨论过所有偶完全数的问题,欧拉对此也表现出了他的数论天才。与这个问题有关的是他对所谓亲和数的研究。亲和数是一对具有下列性质的数字:一个数字的所有因数之和恰好等于第二个数字,而第二个数字所有因数之和也同样等于第一个数字。亲和数早在古代就引起了数学家的兴趣,他们认为亲和数具有神秘的“超数学”色彩。即使在现代,亲和数也因其独特的互逆性质游弋在数字学的伪科学中。

古希腊人已知道数字220和284是亲和数。即,220的所有因数是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110,这些因数加起来恰好等于284;同样,284的所有因数是1、2、4、71和142,它们加起来等于220。但遗憾的是,当时的数字学家们还不知道有其他的亲和数,直至1636年,费马才证明出17,296和18,416构成了第二对亲和数。(实际上,这对亲和数早已为阿拉伯数学家班纳(1256—1321年)所发现,比费马早300多年,但是,在费马时代,西方人还不知道这一对亲和数的存在。) 1638年,笛卡儿或许是为了与费马争胜,骄傲地宣布他发现了第三对亲和数:9,363,584和9,437,056。

在欧拉开始研究这个问题之前的一百年间,亲和数的研究一直停滞不前。1747年至1750年期间,欧拉发现了122,265和139,815以及其他57对亲和数,这样,他独自一人就使世界已知亲和数增加了近20倍!欧拉之所以能够取得这样的成果,是因为他找到了生成亲和数的方法,并用这种方法生成了亲和数。

费马最重要的猜想之一见于他1640年的另一封信中。他在信中说,如果a是任意整数,p是与a互质的素数,那么,p就一定是数字ap-1 - 1的因数。费马按照他令人厌烦的习惯,宣称他已经发现了这一奇特现象的证明,但却没有写在信中。并且,他告诉他的收信人,“如果不是怕这个证明太长的话,我就写给你了。”

此后,这一性质便以“费马小定理”而知名。例如,素数p=5和数字α=8,定理宣称,5可以整除84-1=4096-1=4095;显然,这是正确的。同样,如果素数p=7,数字α=17,根据费马定理,7能够整除176-1=24,137,569-1=24,137,568;这个数字虽然很不明显,但却同样是正确的。

费马是如何作出证明的,我们只能去猜想了。直到1736年,才有欧拉提供了一个完整的证明。我们后面将要讨论欧拉的证明,但在此之前,我们应先介绍一下欧拉作出证明所需要的数论依据:

(A) 如果素数p能够整除a×b×c×……×d的乘积,那么,p就一定能够整除a,b,c,……,d这些因数中的(至少)一个因数。用通俗的话讲,就是,如果一个素数能够整除一个乘积,那么,它就一定能够整除其中的一个因数。正如我们在第三章中所述,欧几里得早在欧拉之前二千年就已在其《原本》的命题Ⅶ.30中对此作出了证明。

(B)如果p是素数,a是任意整数,则下式

也表示一个整数。

我们将不去证明这个论断,但要通过一两个例子来验证其正确。例如,如果a=13,p=7,那么,我们发现,

的确是一个整数,因为在原算式中所有貌似分数都约掉了,我们只剩下求整数的和。当然,这种约消不一定必然存在。实际上,如果我们在p的位置采用一个非素数,我们就会遇到麻烦。例如,如果a=13,p=4,我们得到

这当然不是整数。所以,只有p是素数,才能保证这一算式得到整数值。

欧拉需要的最后一件数学武器是应用于(a+1)P的二项式定理。幸好,他在牛顿的著作中读到过这个定理,所以,他已经准备停当。我们将分四步来探讨他的证明,每一步都直接推导出下一步,最后一步将以费马小定理结束:

定理 如果p是素数,a是任意整数,则p可以整除(a+1)P-(aP+1)。

证明 应用二项式定理,展开第一个表达式,得到

我们将这一展开式代入(a+1)P-(aP+1),然后,合并同类项,并提取公因数p,即得到

根据上述(B),我们知道方括号中的项是一个整数。因而,我们证明了(a+1)P-(aP+1)可以分解因式为素数p与一个整数的乘积。换言之,如定理所称,p可以整除(a+1)P-(aP+1)。 证讫。

我们利用这一结果即可直接导出第二个定理。

定理 如果p是素数,并且,p可以整除aP- a,那么,p也可以整除(a+1)P-(a+1)。

证明 前一个定理保证了p可以整除(a+1)P-(aP+1),并且,我们已知p也可以整除aP- a。所以,p显然可以整除这两者的和:

[(a+1)P-(aP+1)]+[aP-a]=(a+1)p-ap-1+ap-a

=(a+1)P-(a+1)

而这正是我们所要证明的。 证讫。

上面的结论为欧拉提供了证明费马小定理的钥匙,这一证明过程被称作“数学归纳法”。归纳法是适于包含整数在内的一些命题的完美的证明技巧,这种方法利用了整数一个紧跟一个的“阶梯”牲质。归纳法证明很像攀登一个(非常高的)梯子。我们最初的工作就是要踏上梯子的第一级。然后,我们必然能从第一级登上第二级。这两步完成后。我们需要的是从第二级登上第三级,然后再从第三级登上第四级。如果我们掌握了从一级登上更高一级阶梯的方法,那么,这个梯子就属于我们了!我们确信,没有我们达不到的阶梯。欧拉应用归纳法作了如下证明:

定理 如果p是素数,a是任意整数,那么,p能够整除aP-a。

证明 因为这一命题涉及到所有整数,所以,欧拉开始先证明第一个整数,即a=1。但是这种情况极为简单,因为aP-a=1P-1=1-1=0,p当然可以整除0(实际上,任何正整数都能够整除0)。这使欧拉踏到了梯子上。

现在,欧拉将a=1(即我们刚刚证明的p是1P-1的因数)应用于前面的定理,据此,欧拉就可以推断,p同样也能够整除

(1+1)P-(1+1)=2P-2

换句话说,欧拉证明了a=2。如果我通过前面的命题再循环一次,我们就发现,这表明,p能够整除

(2+1)P-(2+1)=3P-3

我们只要不断重复这个过程,就会看到p能够整除4P-4、5P-5,等等。这样,欧拉就像从梯子的一级不断爬向更高一级那样,能够一直爬向整数梯子的顶端,从而保证了对于任意整数a来说,p是aP-a的因数。 证讫。

最后,欧拉准备证明费马小定理。由于已完成了上述艰苦的准备工作,所以,他最后一步证明极为轻松:

费马小定理 如果p是素数,而a是与p互质的整数,那么,p能够整除aP-1 -1。

证明 我们已证明,p能够整除

aP- a=a[ap-1-1]

根据上述(A),因为p是素数,p就一定能够整除a或aP-1 - 1(或两者)。但是,我们已假设p不能整除a,因而我们推断,p能够整除后者,即,p能够整除aP-1 - 1。这就是费马小定理。 证讫。

欧拉的论证是一颗明珠。他需要的仅仅是一些比较简单的概念;他溶入了归纳法这种关于整数的典型证明方法;并运用了远及欧几里得,近自二项式定理的命题。对于这些知识,他大量注入了自己的天才,这样就出现了费马以前提出但未能证明的费马小定理的第一个证明。

顺便说几句题外的话,令人惊奇的是,欧拉的这一命题最近被应用于一个实际问题——即设计某些高度复杂的密码系统,以发送机密信息。纯数学抽象定理亦有其非常实际的用途,在这方面,这不是第一例,当然也不是最后一例。

伟大的定理:欧拉对费马猜想的反驳

就我们本章的目的来说,前面的论证只是序曲。费马/欧拉的另一个命题将作为本章的伟大定理。毫不奇怪,正是欧拉的笔友哥

德巴赫的信引起了欧拉的兴趣。在1729年12月1日的一封信中,哥数,你知道这个问题吗?他说他没能作出证明;据我所知,也没有其他任何人对这个问题作出过证明。”

费马声称发现了一个始终能生成素数的公式。显然,就n的最初几个

数28+1=257和216+1=65537。按序列,下一个数字n=5就生成了一个巨大的数字

费马同样认为这是一个素数。如果沿着费马的思路,从直觉上没有理由怀疑他的推断。另一方面,任何数学家如果想要否定费马的猜想,就必须要找到一种方法,以将这一10位数字分解为两个较小的因数;而这种研究可能需要几个月的时间,当然,如果费马对这个数字的素数性的推断是正确的话,则这种探索将是徒劳无益的。总之,我们有种种理由接受费马的推测,转而去忙别的事情。

但这不是欧拉的性格。他开始对数字4,294,967,297进行研究,最后,欧拉终于成功地分解出这个数字的因数。费马的猜想是错误的。无需赘言,欧拉发现这个数字的因数并非偶然。他就像侦探一样,首先从一个案件的真正嫌疑犯中排除无辜的旁观者。按照这种思路,欧拉设计了一个非常巧妙的检验方法,从一开始就排除掉所有无关的数字,只留下4,294,967,297的几个潜在因数。他的非凡观察力使摆在他面前的任务变得格外简单。

欧拉首先提出一个偶数a(但如果能够知道真相的话,他心里实际想的是a=2)和一个素数p,且p不是a的因数。然后,他希望能确定对素数p的限制,看其能否分别整除a+1、a2+1、a4+1,或其一般式

他能否发现a32+1的素因数呢?

命运似乎对费马开了一个不大不小的玩笑,欧拉用以否定费马猜想

马自己种下了埋葬自己的种子。的确,随着我们介绍欧拉推导下述定理的过程,我们不能不承认,费马小定理起了关键性的作用。

定理 A设a为偶数,p为素数,且p与a互质,但却能够整除a+1。那么,对于某一整数k,p=2k+1。

证明 这是一个非常简单的定理。如果a是偶数,那么,a+1就是奇数。因为我们假设p能够整除奇数a+1,所以,p自身也一定是奇数。因而,p-1是偶数,并且,对于某一整数k来说,p-1=2k,也就是p=2k+1。证讫。

我们来看一个具体数例。如果我们先设偶数a=20,那么,a+1=21,并且,21的两个素因数(即3和7)都符合2k+1的形式。

下一步是更具挑战性的一步:

定理B 设a为偶数,p为素数,且p与a互质,但却能够整除a2+1。那么,对于某一整数k来说,p=4k+1。

证明 因为a是偶数,所以a2也是偶数。根据定理A,我们知道,a2+1的任何素因数(特别是数字p)都一定是奇数。也就是说,P等于2的倍数加1。

但是,如果我们用4去除p,结果如何呢?显然,任何奇数都一定等于4的倍数加1或者4的倍数加3。使用符号,p可以表示为4k+1或4k+3的形式。

欧拉想消除后一种可能性,为了造成最后的矛盾,他必须先假定p=4k+3,其中k为某一整数。由于定理设p与a互质,所以,根据费马小定理,p能够整除

ap-1-1=a(4k+3)-1 - 1=a4k+2 -1

另一方面,定理给出p是a2+1的因数,所以,p也是下列乘积的因数:

(a2+1)(a4k-a4k-2+a4k-4-……+a4-a2+1)我们可以用代数方法对这一乘式进行计算,通过乘出上式,并合并同类项,就可以将这一复杂的乘积简化为a4k+2+1的形式。

现在,我们可以断定,p既能够整除a4k+2+1,也能够整除a4k+2-1。所以,p一定能够整除这两者的差

(a4+2+1)-(a4k+2-1)=2

但是,这是一个明显的悖论,因为奇素数p不能整除2。它表明,p不能象我们在开始时所假设的那样具有4k+3的形式。由于只剩下了一种选择,所以,我们可以断定,对于某一整数k来说,p一定等于4k+1。证讫。

与前面一样,我们现在来举几个具体数例。如果a=12,那么,a2+1=144+1=145=5×29,5和29都是4k+1形式(即4的倍数加1)的素数。同样,如果a=68,则a2+1=4625=5×5×5×37,其中的每一个素因数都等于4的倍数加1。

定理C 设a为偶数,p为素数,且p与a互质,但p能够整除a4+1。那么,对于某一整数k来说,p=8k+1。

证明 首先说明,a4+1=(a2)2+1。所以,我们可以应用定理B,将p写成4的倍数加1的形式。据此,欧拉提出,如果不用4,而用8去除p,结果又会如何呢?起初,我们可能会遇到8种可能性:

p=8k(即,p是8的倍数)

p=8k+1(即,p等于8的倍数加1)

p=8k+2(即,p等于8的倍数加2)

p=8k+3(即,p等于8的倍数加3)

p=8k+4(即,p等于8的倍数加4)

p=8k+5(即,p等于8的倍数加5)

p=8k+6(即,p等于8的倍数加6)

p=8k+7(即,p等于8的倍数加7)

幸运的是(而这正是欧拉分析的核心),我们可以消除其中p的某些可能形式。首先,我们知道,p一定是奇数(因为p是奇数a4+1的因数),所以,p不可能呈现8k、8k+2、8k+ 4或8k+6的形式,因为它们显然全都是偶数。

并且,8k+3=4(2k)+3等于4的倍数加3,根据定理B,我们知道, p不可能具有这种形式。同样,数字 8k +7=8k+4+ 3= 4(2k+1)+3也等于4的倍数加3,所以,也不在考虑之列,应予以消除。

这样,a4+1的素因数就只剩下了 8k+1和8k+5两种可能形式。但是,欧拉按下述方法成功地排除了后者:

为了造成矛盾,必须先假定p=8k+5,其中k为某一整数。那么,由于p与a互质,所以,根据费马小定理,p能够整除

ap-1-1=a(8k+5)-1-1=a8k+4-1

另一方面,由于p能够整除a4+1,所以,p也肯定能够整除

(a4+1)(a8k-a8k-4+a8k-8-a8k-12+……+a8-a4+1)

这一乘积可以用代数方法简化为a8k-4+1。但是,如果p既是a8k-4+l的因数,又是a8k-4-1的因数,那么,p也就应该能够整除它们的差

(a8k-4+1)-(a8k-4-1)=2

这样,就出现了矛盾,因为p是奇素数。所以,我们看到,P不可能有8k+5的形式,因而,正如定理所断定的那样,p的唯一可能形式只能是8k+1。 证讫。

我们再来举一个简单的例子。如果偶数a=8。那么,a4+1=4097,这个数字可以分解为 17×241,而 17和 241都可以分解为 8的倍数加1的形式。

据此,欧拉证明了更多同样形式的情况,但是,为了我们的目的,我们应将这一模式整理一下,使之条理更加清晰。我们可以概括前面的所有工作如下。若a为偶数,p为素数,那么,

如果p能够整除a+1,则p为2k+1的形式(定理A)

如果p能够整除a2+1,则p为4k+1的形式(定理B)

如果p能够整除a4+1,则p为8k+1的形式(定理C)

如果p能够整除a8+1,则p为16k+1的形式

如果p能够整除a16+1,则p为32k+1的形式

如果p能够整除a32+1,则p为64k+1的形式

p=(2n+1)k+1。

终于,我们可以回到费马关于232+1的素数性的猜想。然而,我们是带着一种关于这一数字可能具有素因数的特别信息回到这个问题上来的。欧拉不是盲目地探索这个数字的素因数,相反,他很快地触及到问题的核心。

定理 232+1不是素数。

证明 由于a=2当然是偶数,前面的探索告诉我们,232+1的任何素因数都一定为p=64k+1(k为整数)的形式。因而,我们可以一个个地检验这些极特殊的数字,看它们是否(1)是素数,(2)能整除4,294,967,297(欧拉用长除法检验后者,而现代读者则可望使用计算机):

如果k=1,64k+1=65,这当然也不是素数,因而无须检验;

如果k=2,64k+1=129=3×43,当然也不是素数;

如果 k=3,64k+1=193,这是一个素数,但却不能整除232+1;

如果k=4, 64k+1=257,这是一个素数,但同样不能整除232+1;

如果k=5,64k+1=321=3×107,这不是素数,无须检验;

如果k=6,64k+1=385=5×7×11,也可以略过;

如果k=7,64k+1=449,这是一个不能整除232+1的素数;

如果k=8,64k+1=513=3×3×3×19,略过;

如果 k=9,64k+1=577,是一个素数,但却不是232+1的因数;

但是,当欧拉试算k=10的时候,他就击中了要害。在这种情况下,p=(64×10)+1=641,这是一个素数,而且,看哪!恰好能够整除费马的数字。即,

232+1=4294967297=641×6700417

欧拉仅仅试算了5个数字,就发现了因数641,意义十分深远。他通过谨慎地排除 232+1的可能性因数的方法,穷竭了可疑数字,使他的任务变得几乎轻而易举。这是一个数学检测的辉煌范例。

关于欧拉上述定理,还有一则有趣的补遗,即4k+1形式的素数只能分解为一种形式的两个平方数之和。首先,我们来看,

232+1=(22)(230)+1=4(1073741824)+1

所以,232+1的确具有4k+1的形式。我们可以直接用数字来检验,

232+1=4294967297=4294967296+1=655362+12

同时,

232+1=4294967297=418161601+3876805696

=204492+622642

这样,我们就以两种不同的方式,将数字232+1分解为两个完全平方数之和。根据欧拉的准则,这证明了232+1不可能是素数,因为4k+1形式的素数只能有一种分解方式。因此,虽然我们没有找到确定的因数,但我们仍然可以非常巧妙地间接证明,这一巨大的数字是合数。

错误的。但是,如果取更大的n值,结果又会如何呢?例如,如果n=6,我们得出

这个数字是能够被素数p=274,177除尽的。毫不奇怪,按照欧拉发现的模式,p具有128k+1的形式;即,p=(128×2142)+1。费马又错了。

接下来的情况更糟糕。1905年,一个非常复杂的论证表明,费马的下

一巨大数字的具体因数。直到1971年,人们才发现了这个长达17位的因数。

过是以偏盖全面已。尽管他宣称所有这些数字都是素数,但当n≥5时,却从来也没有发现过这种形式的素数。实际上,现在许多数学家都在猜测,除了费马已发现的当n=1、2、3、4时的四个素数以外,根本就没有这种形式的素数存在。这样,费马猜想就不仅是错误的,而且是大错特错了。

至此,我们可以就我们对欧拉数论的简要评述作一个总结。如前所述,本章的这些定理最直接地表明了欧拉在数论领域的巨大影响。诚然,他是站在天才的前辈、特别是站在费马的肩膀上。但是,欧拉的研究,不可估量地丰富了这一数学分支,并使他自己跻身于第一流的数论学家之列。

后记

当欧拉逝世的时候,卡尔·弗里德里希·高斯刚刚6岁。然而,这个德国男孩超常的智力已经给其长者留下极深的印象。几十年后,他继承欧拉的衣钵,成为世界上最优秀的数学家。

我们在第三章曾介绍过高斯最初期的成就,他在1796年发现可以用圆规和直尺作出正17边形的图形。这一证明在数学界引起了一场轰动,因为自古以来,没有任何人想到过有可能作出这一图形。我们还是让年轻的高斯自己来加以说明:

“每一个略通几何的人都清楚地知道,许多正多边形,即三角形、五边形、15边形以及它们的2n倍的正多边形,都可以用几何方法作出。远在欧几里得时代,人们就已懂得这一点,并且,从那时起,人们似乎就已相信,初等几何的范围是不可能扩大的……然而,我认为,除了这些常规多边形之外,更非凡的是可以同样用几何方法作出的其他一些图形,如正17边形。”

高斯虽然当时尚不足20岁,但在正多边形的几何作图方面,却比欧几里得、阿基米德、牛顿或其他任何人都看得深远。

然而,高斯所做的,还不仅仅是证明了正17边形几何作图的可能性,

当然,我们已知道,这种形式的素数正是费马所称的素数。由于某种原因,这一数论问题与几何作图有着内在的联系。正如数学史上有时出现的那样,一个数学分支(本例为数论)中的发现和研究会对另一看来无关的分支(正多边形的几何作图)产生深刻影响。当然,这里的关键是“看来无关”。但实际上,高斯的研究表明,这两者之间确有着不可否认的关系。

+1=65537边形也可以用几何方法作出!当然,这些作图绝对没有任何实际意义,但它们的存在再次表明,在我们所熟悉的欧氏几何下面,隐藏着一个奇怪的、令人意想不到的神密世界。高斯自己对这一发现也颇感自豪,甚至在他毕生取得非凡的数学成就之后,他还是要求将一个正17边形铭刻在他的墓碑上。(令人遗憾的是,这点没有做到。)

卡尔·弗里德里希·高斯于1777年出生在德国的不伦瑞克,他很小时就显示出聪明过人的迹象。三岁时,这个还没有桌子高的小家伙就能够核算他父亲的帐目,偶尔还能够改正其中的错误。有一个高斯在小学时的脍炙人口的故事,讲的是,一次,他的一个老师显然是上课太累了,想稍事休息,就要求全班同学静静地计算前一百个整数的和。这些孩子们无疑得费一会儿功夫。但是,老师刚刚把题目讲完,卡尔就站起来,把答案放在了老师的桌上,而这时,其他同学几乎刚刚计算出“ 1+ 2+ 3+4+ 5= 15”。面对这一意想不到的情况,大家可以想象老师脸上那种交织着怀疑与沮丧的表情,但当他瞥了一眼高斯的答案时,却发现答案完全正确。高斯是怎样计算出来的呢?

首先,这不是魔法,也不是那种能够以闪电般的速度累加一百个数字的能力。确切地说,是高斯甚至在如此小小年纪就已表现出来的敏锐的洞察力,这种洞察力贯穿了他的一生。据说,他只是想象他所求的和(我们用S表示)可以同时写成递升次序和递降次序:

S=1+2+3+4+……+98+99+100

S=100+99+98+97+……+3+2+1

高斯没有横向去加这两行数字,而是竖向将各列相加。由于每一列的和都恰好等于101,这样,他就得到

2S=101+101+101+……+101+101

但是,要有100列相加,因而,2S=100×101=10100,所以,前100个整数的和等于

所有这些,在高斯脑子里都是瞬间完成的。显然,他的前途无量。

高斯学业进展神速,受到不伦瑞克公爵的赏识,15岁时,在公爵资助下,进入卡罗林学院。三年后,他进入了久负盛名的哥廷根大学深造。1796年,在哥廷根大学,他作出了有关正17边形的非凡发现。显然这是他投身于数学研究的一个决定性因素;他以前曾想成为一个语言学家,但17边形的发现使他相信,也许,他天生是个数学家。

1799年,高斯因其对现在称之为代数基本定理的命题作出了第一个合理而完整的证明,在黑尔姆施泰特大学获得博士学位。仅从名称我们就能够感觉到这一定理的重要性。这一命题涉及到解多项式方程问题,显然,这是代数学上的一个基本课题。

虽然早在17世纪就有关于代数基本定理的论述,但真正使其著名的是法国数学家让·达朗贝尔(1717—1783年),他曾于1748年试图作出证明,但失败了。他所论述的定理是:任何实系数多项式都可以分解为实系数一次因式和二次因式的乘积。例如,因式分解

3x4+5x3+10x2+20x-8=(3x-1)(x+2)(x2+4)

即说明了达朗贝尔所论的分解方式。本例中的实系数多项式分解为几个简单的因式:两个一次因式和一个二次因式。

并且,我们注意到,我们还可以用复数来分解这一二次因式。虽然我们在讨论三次方程时曾接触过许多复数问题,但实际上,复数是在其后确立代数基本定理的过程中才日渐突出起来的。我们可以对下列方程进行验算:如果a、b、c是实数,并且a≠0,那么,

这样,实系数二次多项式ax2+bx+c就分解为两个有点不太赏心悦目的一次因式。(反应快的读者会看到,在这一因式分解过程中应用了二次方程公式。)

当然,我们不能保证这些一次因式都由数组成,因为如果b2-4ac<0,我们就进入了虚数王国。例如,在上述例子中,我们可以进一步分解二次项,以得到完全国式分解:

3x4+5x3+10x2+20x-8

这样,随着一个四次实系数多项式分解为四个一次因式的乘积,我们当然会意识到有希望进行任何次多项式的完全因式分解。据此,代数基本定理称,任何n次实系数多项式都可以分解为n个(也许是复数)一次因式的乘积。

如前所述,达朗贝尔认识到了这一定理的重要性,并曾试图作出证明。但遗憾的是,他的努力远未成功。尽管他实际上未能证明这一定理,但也许是为了对他的努力表示敬意,这一定理长期以来一直称为“达朗贝尔定理”。这很有点儿像用拿破仑的名字命名莫斯科,只是因为拿破仑曾试图到达莫斯科。

18世纪中叶,对这一定理的研究一直处于停滞不前的状态。关于这一定理是否正确,数学家们众说纷纭,例如哥德巴赫就曾怀疑其正确性,而那些相信其正确的数学家们也未能提出证明。也许最接近于作出证明的是李昂纳德·欧拉1749年的一篇论文。

欧拉的“证明”显示了他特有的机敏和独创性。他开始时论述得十分出色,漂亮地证明了实系数四次或实系数五次方程可以分解为实系数的一次或二次因式的乘积。但是,当他依据这一定理,论证更高次多项式时,他发现自己陷入了极度复杂的混乱之中。例如,对于他事先引入的一个辅助变量u,首先要证明某一特定方程可解。欧拉不无遗憾地写道,“确定未知的u值,必须要解一个12870次方程。”他试图采用间接方法证明这一点,但他未能使他的评论家们信服。总之,他做出了令人钦佩的努力,但代数基本定理最终仍击败了他。而欧拉落败可能会给那些缺少数学才能的人(实际上包括每一个人)带来某些心灵上的安慰。

代数基本定理确立了以复数进行多项式因式分解的原则,但这一定理一直处于非常不确定的状态。达朗贝尔未能作出证明;欧拉也仅仅证明了一部分。显然,需要极大的毅力,才能彻底证明其正确与否。

这样,我们再回到高斯的划时代论文,这篇论文的题目很长,且富有描述性:《关于任何有理代数整函数(即每一个带有实系数的多项式)都能够分解为一次或二次实因子的定理的一个新证明》。他首先就其前辈对这一定理的研究提出了自己批判性的评论。在论及欧拉的证明时,高斯认为,欧拉证明的缺陷是没有作出“数学所要求的一般性证明”。他不仅在这篇论文中,而且还在他1814、1816和1848年发表的对这一定理的三个别证中都成功地作出了对一般情况的证明。

今天,我们比19世纪初叶时更认识到这一重要定理的普遍性。我们现在可以在以下意义上将这一定理完全转化为复数问题:我们不再要求所论多项式必须具有实系数。总之,我们认为n次多项式既可以有实系数,也可以有复系数,例如,

尽管这种修改使其明显地变得更加复杂,但基本定理保证了即使是这种类型的多项式也能够分解为n个一次因式(当然带有复系数)的乘积。

高斯下一步的主要工作是对数论的研究,在这方面,他继承了欧几里得、费马和欧拉的传统。1801年,他发表了他的数论名作《算术研究》。顺便说一句,他在这本书的最后广泛讨论了正多边形的作图(出人意料是,他将这一问题的讨论与复数密切联系起来)及这种作图与数论的关系问题。高斯一生始终关注这个问题,他曾说过,“数学,科学的皇后;数论,数学的皇后。”

卡尔·弗里德里希·高斯虽然尚不足30岁,但他已在几何、代数和数论领域作出了划时代的发现,并被任命为哥廷根天文台台长。他后来一直担任这一职务,直至逝世。这一工作要求他必须努力将数学应用于现实世界,这些问题与他所热爱的算术有天渊之别,然而他依然干得十分出色。在确定谷神星的运行轨道中,高斯起了很大作用;他还细心地描绘了地球磁场图,高斯与威廉·韦伯一起,是最早的磁学家。高斯还与韦伯合作,发明了电磁电报,几年后,美国科学家塞缪尔·F.B.莫尔斯在此基础上,发明了更大规模的电报通讯,并因此声誉雀起。高斯在数学应用方面的成就堪与他在纯数学领域的贡献相匹敌。像牛顿一样,他在这两个领域都获得了辉煌的成就。高斯与艾萨克爵士不仅在数学方面,而且在心理上,也有许多相似之处。他们两人都以冷淡、孤僻的个性及甘愿孤立从事研究而著称。他们都不大喜欢教学,但高斯却曾指导过19世纪一些最优秀的数学家进行博士研究。

并且,他们两人都尽力避免学术论争。我们回想一下,牛顿年青时似乎宁肯下油锅,也不愿将他的研究成果交给社会评判。高斯同样对与流行的科学观点相左而感到不安,最明显的是他在发现非欧几何时所表现的那样。我们在第二章的后记中曾提到,他担心自己如果在这个问题上提出命性见解,会遭到“蠢人的讥笑”。19世纪初叶,高斯已成为世界最优秀的数学家。对此,他似乎特别意识到他的思想的影响及其必将受到的严格评判。对代数基本定理作出绝妙的证明是一回事,但要告诉世界三角形内角和可能会小于180°则又是另一回事。高斯断然拒绝采取这种立场。他也像牛顿那样,把自己奇妙的发现收藏起来,锁进了抽屉深处。

然而,不应忽略,高斯这位刻板而内向的数学家还有其另外一面,令人意想不到。事情涉及他对法国女数学家索菲·格尔曼(1776—1831年)的鼓励。索菲·格尔曼克服了重重障碍,终于成为19世纪初的杰出数学家。她的故事明确地揭示了一种社会态度,即认为数学学科不适于妇女。

格尔曼幼年时在他父亲的书房里发现了一些数学书,这些书深深地迷住了她,尤其是普卢塔克关于阿基米德之死的描述,对于阿基米德来说,数学甚至比生命更重要。但是,当她表示有志学习数学时,却遭到了她父母的反对。他们禁止她读数学书,索菲·格尔曼就只好把书偷偷拿进自己的房间,在微弱的烛光下苦读。后来,家里人发现了她的这些秘密,就拿走了她的蜡烛,并且,还拿走了她的衣服,让她无法在阴冷的屋子里读书。但是,这些极端的措施都没有能够使她屈服,这足以证明了格尔曼对数学的热爱,也许还证明了她身体的耐力。

当格尔曼掌握了更多的数学知识后,她就准备向更高级的程度进军。但是,她想进入学院或大学学习的想法在当时看来似乎十分荒谬,于是,她就只好在教室门外偷听,尽可能地记住老师讲课的内容,然后向富有同情心的男学生借来课堂笔记。很少有人是经过这样一条崎岖小路才进入高等数学殿堂的。

然而,索菲·格尔曼获得了成功。1816年,她的工作已经给人以深刻印象,她对弹性片振动性质的透彻分析,为她赢取了法兰西研究院奖金。在这期间,她用假名安托万·勒布朗隐瞒了自己的身份,以免暴露身为女人这一不可宽恕的罪过。并且,她还以这一笔名与世界最优秀的数学家保持通信联系。

高斯从一开始时就对他的法国笔友印象极佳。勒布朗显然曾认真读过《算术研究》,并就书中定理有所概括和发展。1807年,卡尔·弗里德里希·高斯终于知道了索菲·格尔曼的真实身份。格尔曼显然对这一消息所产生的影响甚为担忧,她写给高斯的信简直就像是一封忏悔书:

“……我以前曾用勒布朗的名字与您通信,这些信件无疑不值得您答复……我希望今天向您吐露的真情不会剥夺您曾经给予我的荣幸,并恳请您抽出几分钟时间向我介绍一些您自己的情况。”

也许出于格尔曼意外的是,高斯的回信充满了慈爱与理解。他承认,他在看到勒布朗“变成”索菲·格尔曼的时侯,确实感到“吃惊”,并且,他对数学界中的不公正表示了自己深刻的见解:

“人们很少对一般抽象科学,尤其是对数的奥秘发生兴趣。我们不会对此感到惊讶。这门卓越的科学,只向那些有勇气深入探索的人,展现它迷人的魅力。由于我们的习惯和偏见,女性要熟悉这些棘手的研究,必定会遇到比男性多得多的困难。但是当一个女性成功地越过了这些障碍,深入到其中最难解的部分时,那就毫无疑问,她必定具有最崇高的勇气,非凡的才能和超人一等的天才。”

高斯以同样的热情赞扬了格尔曼的数学著作,称其“给了我无比的快乐”。然后,他又继续写道,“如果我冒味对你的上封信作一点儿评论,请你把这看作是我对你关心的证明”,并进而指出了她推理中的错误。虽然索菲·格尔曼的数学能够给高斯以无穷的快乐,但这封信清楚表明了,在高斯心目中,究竟谁是大师。

应当指出,即使在她的身份暴露后,格尔曼的数学生涯依然很有成果。1831年,经高斯的大力推荐,哥廷根大学准备授予她名誉博士学位。这在19世纪初叶的德国,对一个女人来说,是极大的荣耀。但非常遗憾,未及授予,格尔曼已逝世。

那么,卡尔·弗里德里希·高斯又是如何呢?他一直活到78岁高龄,最后死于他任台长近50年的哥廷根天文台。到他逝世的时侯,他的声望已达到近乎神话的程度,人们只要一提到数学家之王,就知道是指高斯,而非其他人。

成长吧啊

然而,高斯自己却遵循着一句不同的格言:“少些,但要成熟”,这句格言贴切地反映了他的生活和工作。高斯在有生之年发表的著作比较少。但他大量未发表的著作却足以使众多数学家成名。他特别注意他的著作可能产生的影响,并尽可能达到尽善尽美的程度才予以发表。高斯的著作虽然不如欧拉数量多,但一旦下笔,就会引起数学界的注意。他身后留下的成果(从正17边形的作图,到《算术研究》和辉煌的代数基本定理),具备了任何数学著作所应具备的成熟。