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第三章 欧几里得与素数的无穷性

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第三章 欧几里得与素数的无穷性(公元前约300年)

《原本》第二—六篇

《原本》第一篇中的48个命题为欧几里得的数学与组织才能树立了一座丰碑。作为第一篇,它当然是《原本》中最著名和人们研究最多的部分,但是,第一篇毕竟还只是《原本》13篇中的一篇。本章将浏览一下这部古典巨著的其他部分。

《原本》第二篇探讨了我们如今称之为“几何代数学”的问题,即以几何概念构成的一定关系,今天,我们可以很容易地将这些关系转变为代数方程式。当然,代数概念对于古希腊人是陌生的,因为代数形成体系是几百年以后的事。我们不妨引用一条有代表性的命题,以使读者能够对第二篇有一个大致的了解。这条命题的行文初看起来似乎非常复杂,但仔细研究以后便会发现,这一命题乃是一个十分简单而熟悉的代数公式。

命题Ⅱ.4 如果把一直线,在任意一点截开,则以整条直线为边长的正方形面积等于两段上的正方形面积之和加上两个以这两段为边的矩形之面积。 

成长吧啊,平方和

 

当然,这就是我们初一代数所学的著名恒等式。欧几里得并未将此作为某种代数式,而是作为一种严格的几何表述,将以AB为边长的正方形分解为两个小正方形和两个全等矩形。然而,这一几何表述与其代数式显然是等价的。第二篇中绝大部分内容都是这种性质。第二篇最后以命题Ⅱ.14结束,这条命题提出了一般多边形的求积问题,其证明已在第一章中介绍过。

第三篇包括有关圆的37个命题。我们在第一篇的作图中已经涉及到圆,但尚未集中讨论过。欧几里得在第三篇中证明了有关圆的弦、切线和角的标准命题。命题Ⅲ.1介绍了如何确定已知圆的圆心。根据定义15,每个圆当然都有一个圆心,但对于一个画在纸上的圆,却并非一眼就能看出圆心所在。因此,欧几里得提供了一个非常必要的作图方法。

欧几里得在命题Ⅲ.18中明确地证明了圆的切线与经过切点的半径成直角。在其后的一个命题中,我们发现了一个重要的定理,“在一个圆中,同一弓形上的角相等”。如图3.2所示,∠BAD与∠BED相等,因为它们都是圆BAED中同一弓形上所形成的角。用现代术语说,这两个角都截取了同一条弧,即弧BD。

成长吧啊

在证明了这一定理之后,欧几里得又开始探讨圆内接四边形的问题,这种图形常常被人们称为“联圆四边形”。虽然这一定理可能有些专门,但因其将在第五章的伟大定理中特别涉及,因此,我们将欧几里得对这个定理的简单证明放在本章介绍。

命题Ⅲ.22 圆内接四边形的对角和等于两个直角。 

证明 我们首先作联圆四边形ABCD,并作对角线AC与BD,如图3.3所示。请注意,∠1+∠2+∠DAB=2个直角,因为它们都是△ABD的内角。并且,∠1=∠3,因为它们截取同一条弧AD;同理,∠2=∠4,因为它们截取同一条孤AB。因此

成长吧啊

2个直角=(∠1+∠2)+∠DAB
=(∠3+∠4)+∠DAB=∠DCB+∠DAB

换言之,联圆四边形的对角和等于两个直角,证讫。

在其后的命题Ⅲ.31中,欧几里得确定了半圆上的圆周角是直角,其证明已在第一章中介绍。在这一方面,我们注意到,欧几里得在其关于圆的篇章中没有一处讲到半月形的问题,《原本》第三篇也没有讲到我们所熟悉的圆的周长(`C=πD`)或面积(`A=πr^2`)定理。对这些问题的全面探讨,只能等待阿基米德的出现,如第四章所述。

欧几里得的第四篇探讨了某些内接和外切几何图形的问题。像《原本》一书的所有作图一样,他在第四篇的作图中也只限于使用圆规和无刻度直尺。尽管存在着这种限制,但他的确推导出了一些非常复杂的结果。

例如,命题Ⅳ.4介绍了如何作已知三角形内切圆,其关键是将三角形角平分线的交点作为内切圆的圆心。在后面的命题中,他又介绍了如何作已知三角形的外接圆;这一次,他将圆心的位置确定在三角形边的垂直平分线的交点上。

由此,欧几里得着手考虑正多边形的作图,此正多边形的所有边长相等,而且,所有角也都相等。这些图形是“完美的”多边形,其对称美无疑吸引了古希腊人的想象力。

让我们回忆一下,欧几里得在《原本》的一开篇便提出了正三角形,或“等边”三角形的作图,在命题Ⅰ.46中,他在已知线段上作正方形。在命题Ⅳ.11中,欧几里得扩大了他的作图范围,作了一个圆内接正五边形,而在命题Ⅳ.15中,他又作了一个圆内接正六边形。本篇的最后一个作图是正十五边形,其推理过程很值得读者一阅。

成长吧啊成长吧啊

欧几里得在《原本》中没有再讲正多边形的作图问题,但他显然知道,如果一个人作出这样一个多边形,利用上述平分方法,就一定能够作出边多一倍的正多边形。例如,作出一个等边三角形后,古希腊几何学家就能够据此作出正6、12、24、48……边多边形;据正方形,他们就能够作出正8、16、32、64……边形;据正五边形,可以作出正10、20、40……边形;据欧几里得的最后一个作图(即正十五边形),可以产生正30、60、120……边形。

如此说来,这类正多边形似乎数目颇多,但显然不是所有的正多边形都可以列入其中。例如,欧几里得在《原本》中没有一处讲到有关正7边形、正9边形或正17边形的作图,因为这些正多边形不适合上述规整的“翻番”模式。人们相信,古希借人一定付出了许多时间和努力,试图解决其他正多边形的作图问题,但是,他们的努力显然没有成功。实际上,虽然欧几里得没有明确表示,但其后的大多数数学家都认为,他所提到的是仅有的可以作出的正多边形,而其他任何正多边形都超出了圆规和直尺的作图能力。

所以,当十几岁的卡尔·弗里德里希·高斯于1796年发现了正十七边形的作图方法时,无疑引起了巨大震憾。这一发现标志着年轻的高斯不愧为第一流的数学天才。前一章曾介绍过高斯在非欧几何方面的工作,我们还将在第十章详细介绍这位天才的数学家。

总而言之,《原本》第一至四篇讲述了有关三角形、多边形、圆及正多边形的基本定理。截止到目前,欧几里得不曾借助非常有用的相似性概念,尽其可能探讨了几何领域。我们在第一章曾讲过,由于毕达哥拉斯派发现了不可通约量,使对相似性的论证及其所产生的比例问题受到了致命的打击,最后,是欧多克索斯以其完美的比例理论堵塞了这一逻辑漏洞。欧几里得的《原本》第五篇则致力于发展欧多克索斯的思想,其意义非常深远,甚至影响到19世纪对无理数的思考。但是,第五篇中的许多定理现在都归入了实数系统,这一系统,不管怎样,我们都认为是天经地义的。这样,我们再去讨论第五篇中艰涩的论证,就显得有点儿多余,因而,我们转向第六篇。

欧几里得在第六篇中研究了平面几何的相似形问题。他的相似形定义是非常重要的。

定义 Ⅵ.1 相似直线图形的对应角相等且对应边成比例。

这一定义具有双重意思,既要求对应角相等,又要求对应边成比例,这样才能保证图形相似。用非技术性语言说,就是在我们说这两个图形形状相同的时候,就已包含了我们所说的这两个条件。

成长吧啊

总之,这两个条件显然都是必要的。例如,在图3.5中,长方形与正方形的角都相等,但它们的边不成比例,所以,形状不相同。另一方面,正方形与菱形的边成同一比例,即1∶1,但它们的角不相等,所以,形状也完全不同。

有趣的是,如果我们的注意力只局限于三角形的时候,相似性的这两个条件就突然消失了。欧几里得利用根据第五篇中的欧多克索斯理论,在命题Ⅵ.4中证明,如果两个三角形的对应角相等,则其对应边必成比例;反之,他在命题Ⅵ.5中证明,如果两个三角形的对应边成比例,则它们的对应角也必定相等。总之,对于三边图形来说,整个问题都极大地简化了,因为两个相似条件中的任何一个条件都保证了另一个条件的成立。因此,三角形占了欧几里得相似图形的大部分是不足为怪的。

其中一个重要的结果是命题Ⅵ.8。

命题Ⅵ.8 一个直角三角形,如果从直角作斜边的垂线,则垂线两边的三角形分别与整个三角形相似,并互相相似。

证明 根据前面第六篇中的命题,事情是很简单的。在图3.6中,△BAC与△BDA分别含有直角∠BAC与∠BDA,并共同拥有∠1。根据命题I.32,它们的第三个角也相等。因此,根据命题VI.4,其边成比例,所以,△BAC与△BDA相似。同理,三角形BAC与ADC相似,并由此证明两个小三角形BDA与ADC相似。证讫。

成长吧啊

欧几里得以第六篇的第33个命题和最后一个命题,基本完成了他对平面几何的论述。然而,令那些将《原本》仅仅看作几何教科书的人们常常感到奇怪的是,他竟洋洋洒洒地又写出了后面的七篇。接下来的主题堪称后代数学家的一座金矿,犹如任何数学分支一样,丰富而辉煌。这就是数论,我们将在这里发现他的下一个伟大定理。

欧几里得数论

乍看之下,人们可能会以为整数完全无足轻重。毕竟,像1+1=2或2+1=3这类问题的确不是什么难事,与错综复杂的平面几何相比,更显得平淡无奇。但是,对数论的任何肤浅认识必定很快被摈弃,因为这一数学领域产生了许多富于刺激性的难题,向一代又一代的数学家提出了挑战。我们在欧几里得《原本》的第七至第九篇中发现了对数论最古老的重要阐述。

第七篇首先提出了有关整数性质的22个新定义。例如,欧几里得定义偶数为可以平均分为两部分的数,奇数则不可平均分为两部分。第七篇中一个重要的定义是素数定义,即,一个大于1,且只能被1和其自身除尽的数。例如,2、3、5、7和11都是素数。大于1的非素数叫合数;每一个合数都有除1和其自身以外的整数因子。排在前面的几个合数有4、6、8、9、10和12。顺便说一句,数字1,既不是素数,也不是合数。

除此以外,欧几里得还定义完全数为等于其各“部分”(即真因数)之和的数。所以,数字6是完全数,因为它的真因数是1、2和3(我们排除6作为其自身因数,因为我们只要求因数),显然,1+2+3=6。另一个完全数是28,因为其真因数的和为1+2+4+7+14=28。另一方面,像数字15就不符合要求,因为其真因数的和为1+3+5=9≠15,因此,数字15显然是不完全数。完全数问题很久以来就一直对数字学家和其他伪科学家有一种特别的吸引力,他们没完没了地找寻6和28一类的数字,哗众取宠。幸好,欧几里得将他对完全数的研究只限于它们的数学性质。

欧几里得在对他的术语定义之后,随即确立了后人所称的“欧几里得算法”,并据此提出了第七篇的前两个命题。这是一种在两个整数的所有公约数中发现最大公约数的可靠方法。为简要说明欧几里得算法,让我们来确定数字1387和3796的最大公约数。

首先,用大数除以小数,并记下余数。本例即

3796=(1387×2)+1022

然后,用第一个余数1022去除第一个因数1387,得

1387=(1022×1)+365

以此类推,这次用第二个余数365除1022:

1022=(365×2)+292 然后

365=(292×1)+73 最后

292=(73×4)

最后,余数等于0。

在余数等于0以后,欧几里得即断言,前一个余数(本例即73)就是我们最初两个数字1387和3796的最大公约数,他对此作出了圆满的证明。请注意,他的这种演算方法最后必然会终止,因为余数(1022、365、292和73)越来越小。由于我们所研究的是整数,所以,这种演算过程当然不可能永远进行下去。实际上,当第一个余数等于1022时,我们就可以绝对肯定地说,最多还有1023步,余数就可以为0(当然,实际上只用了5步)。

显然,欧几里得算法有其具体应用,而且,完全是机械性的。它不需要特别的知识和灵感,就能够确定两个数的最大公约数;当然,不难编一套程序,用计算机来进行这一运算。或许不那么明显的是,欧几里得算法在数论方面有其极大的理论重要性,至今仍被尊为数论的奠基石。

欧几里得对数论的探讨贯穿第七篇始终。在此过程中,他提出了极重要的命题VII.30。这一命题证明,如果一个素数p能够整除两整数a与b的乘积,则素数p至少必能整除两因子之一。例如,素数17可以整除2720=34×80,显然,17也可以整除第一个因子34。相反,合数12可以整除48=8×6,但12却不能整除8或6这两个因子中的任何一个。当然,问题就在于12不是素数。

命题VII.31极大影响了后来的伟大定理。欧几里得的证明与现代数论教科书中的证明完全一致。其证明如下:

命题VII.31 任一合数均能为某一素数量尽(即可被素数所除)。

证明 设A为合数。根据“合数”的定义,一定有一个小于A,且能整除 A的数字 B,即 1<B<A。这里, B可能是素数,也可能不是。如果B是素数,那么,就正如命题所论断,原数字A确实有一个素数因子。另一方面,如果B不是素数,那么,B就一定有一个因子,比如 C,而1<C<B。如果 C是素数,那么,按照上述推论,C能够整除B,B又能够整除A,因此,素数C自己也能整除A。但是,如果C是合数又会如何呢?那么,它就一定会有一个真因数D,然后,我们继续下去。

在最坏的情况下,我们会得到一系列降值排列的非素数因子:

A>B>C>D>……>1

但是,所有这些数字都是正整数。欧几里得正确指出,我们一定会达到一点,在这一点上,我们所发现的因子是素数,因为“……如果找不到(一个素数因子),那么,就会有无穷多一系列越来越小的数量尽A,这对于(整)数来说是不可能的。”当然,这种不可能的原因很简单,因为一条降值排列的正整数数字链中的数字是有限的。因此,我们可以非常肯定地说,这种推算过程一定会终止,数字链上的最后一个数字一定是一个素数,同时也是它之前所有数字的因子,特别也是原数字A的一个因子。 证讫。

成长吧啊

但是,如果我们将注意力只限于正整数,如同欧几里得那样,那么,这种降值排列的数序就必定会在有限的步骤之后结束,并且,由此形成了欧氏数论演绎的许多奥妙。

欧几里得完成第七篇的最后一个证明,便毫不犹豫地转向第八篇。实际上,对于欧几里得何以不将他的三部数论著作合成《原本》中的一篇(虽然会很长),人们说不出什么好的理由。终于,欧几里得提出了重要的命题IX.14。

命题IX.14 如果一个数是能为一些素数量尽的最小的数,那么,除了原来能量尽它的这些素数以外,不能再为别的素数所量尽。

用现代话说,这条命题的意思就是,一个数只能以唯一的方式分解成素数的乘积。也就是说,我们只要将一个数分解(“量尽”)为素因子,那么,再去寻找不同素数组成的因式已毫无意义,因为其它任何素数都不能量尽原来的数。今天,我们称这一命题为“唯一析因定理”或“算术基本定理”。这后一个名称表明了它在数论中的中心作用,因为数论有时也称“高等算术”。

例如,可应用唯一析因定理解决下述小问题。我们首先设数字8,然后作升冥排列:`8^2=64`;`8^3=512`;`8^4=4096`;`8^5=32,786`等等。我们将继续排列,直到找到一个尾数为“0”的数字为止。问题是,需要经过多少步骤才能得出这一数字,一百步,一千步,还是一百万步?

应用唯一析因定理,我们就会知道,这个问题是完全没有希望的。因为假设这一过程最后能够得出一个尾数为0的数字N。一方面,由于N是从一系列8的连乘中得出的,所以,我们就能够把它分解成一长串2的乘积,因为8=2×2×2。但是,如果N的尾数是0,它就一定能够被10整除,因而也一定能够被素数5整除。但这样就出现了矛盾,因为欧几里得在命题IX.14中证明,如果N分解为一系列因数2,那么,其它任何素数(也包括素数5)都不能整除N。总之,即使我们连续乘以8,乘上一亿年,也永远得不出一个尾数为0的数字。

我们从前面的许多命题中可以清楚地看出,素数在数论中起着一种中心作用。尤其是,因为任何大于1的数,或者本身就是素数,或者可以以唯一的方式写成素数的乘积,所以,我们可以很恰当地将素数看作建筑整数大厦的砖石。在这个意义上,数学之素数犹如基础化学之原子,都是同样值得认真研究的。

在欧几里得之前,曾有许多数学家列出过最初的一些素数,以寻找素数的分布模式或其它分布线索。为便于参考,前36个最小的素数列举如下:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,
37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,
79,83,89,97,101,103,107,109,113,
127,131,137,139,149,151

没有什么特定的分布模式,但有一个明显的特点,即除2以外,所有素数都是奇数(因为所有大于2的偶数都有因子2)。然而,仔细观察一下便会发现,随着数值的增大,素数之间的“跨度”似乎越来越大,或者说素数越来越稀少。例如,在2与20之间有8个素数,但在102与120之间却只有4个素数。注意在113与127之间连续有13个合数,而在100之内却没有这样大的素数间隔。

对于素数明显趋于“稀少”的现象,不难作出解释。显然,在我们观察比较小的数字(十几或二十几)时,由于小于这些数字的数很少,所以可能因子也很少。但对于比较大的数字(如上百、上千或上百万)来说,则有很多小于它们的数字可以充当潜在因子。一个数作为素数,必须没有更小的因子,一个大数很难作到这一点,因为它具有许多小于自己的可能因子。

实际上,我们如果一直追踪下去,就会发现在素数之间的巨大间隔。例如,在从2101到2200这100个数字中,只有10个数是素数,而在从10,000,001到10,000,100这100个数字中,只有两个数是素数。也许,古希腊人曾像今天的学生一样,想到过素数最终可能会有尽头。也就是说,最后,素数会变得如此稀少,以致完全消失不见,而后边的所有数字都成了合数。

即使在这一方面存在某些迹象,也不足以动摇欧几里得的论断。相反,他在命题IX.20中证明,尽管素数数量越来越稀少,但任何限定的素数集合都不可能将所有的素数囊括无遗。他的论断常常被称为对“素数无穷性”的证明,因为他的确证明了全部素数是无限的。如果世界上确实有经典性的伟大定理的话,那么,欧几里得的论证即是一例。实际上,他的论证常常被人们作为数学定理的典范,因为这一定理简洁、优美,又极为深刻。20世纪英国数学家 G.H.哈代(1877—1947年)在其精彩的专著《一个数学家的自辩》中称欧几里得的证明“……自发现之日至今,永葆其生机与效力,两千年岁月没有使它产生一丝陈旧感。”

伟大的定理:素数的无穷性

现在,我们已讨论了欧几里得作出他巧妙证明所需要的几乎全部概念,唯有一点还未讨论。这尚缺的一点是一个非常简单的概念,即如果一个整数G可以整除N和M,且N>M,那么,G就一定能够整除这两个数的差N—M。显然,因为G能够整除N,即N=G×A,A为整数;又,G能够整除M,即M=G×B,B为整数。所以,N-M=G×A-G×B=G×(A-B)。由于A-B为整数,因此,G显然能够整除N-M。也就是说,两个5的倍数相减,其差等于一个5的倍数;两个8的倍数之差等于一个8的倍数;等等。

根据这一明显的原理,我们就可以进而研究欧几里得的经典命题。

命题IX.20 素数的数目大于任何指定的素数集合。 

欧几里得的特别术语又一次模糊了命题的含义。他所说的是,已知任何有限的素数集合(即任何“指定的素数集合”),然而,我们总能找到一个不包括在这一素数集合之中的素数。简言之,任何有限的素数集合都不可能包括全部素数。

证明 欧几里得首先设一有限的素数集合,即A、B、C、……,D。他的目的是要找到一个不同于所有这些素数的素数。为此,第一步,他先设数字N一(A×B×C×……×D)+1。N大于原素数集合中所有素数的乘积,显然也大于其中的任何素数。如同任何大于1的数字,N或是素数,或是合数,对这两种情况,需要分别加以讨论。

情况1 设N为素数。
因为N大于A、B、C、……,D,所以,N是原素数集合中不包
括的新素数,至此,证明完毕。

情况2 如果N是合数,情况又会如何呢?

根据命题VII.31,N肯定有一个素数因子,我们设其为G。然后,欧几里得即断定(这是他推理的核心),G为原“指定的素数集合”之外的素数。为便于论证,设G=A,那么,G当然能够整除A×B×C×……×D的积,并且,(如我们在情况2中所设,)G同时也能够整除N。因此,G肯定还能整除这些数的差,即应该能整除

N-(A×B×C×……×D)
=(A×B×C×……×D)+1-(A×B×C×……×D)=1

但是,这是不可能的,因为素数G最小也必须等于2,而且,根本没有能够整除1的数字。即使我们假设G=B,或G=C,等等,结果也都一样。因此,欧几里得宣称,素数G不包括在A、B、C、……,D之中。

所以,不论N是否是素数,我们都能够找到一个新的素数。因此,任何有限的素数集合永远会被素数集合之外的又一个素数所补充。 证讫。

对欧几里得证明的要点可以用两个具体的数字来说明。例如,假设我们原来“指定的素数集合”是{2,3,5}。那么,数字N=(2×3×5)+1=31,N为素数。31显然大于我们开始时所设的三个素数2、3和5,因此,31是不包括在原素数集合中的新素数。这就是我们上面所证明的第一种情况。

另一方面,我们还可以设原素数集合为{3,5,7},因而,N=(3×5×7)+1=106。106显然大于3、5或7,但它不是素数。然而,犹如第二种情况所证明的那样,106肯定有一个素数因子,在本例中, 106=2×53,而2和53都是不包括在集合{ 3, 5, 7 }之中的新的素数。所以,即使N是合数,我们也能够证明有限的素数集合之外尚有其它素数存在。

这一证明将永远是数学论证的经典之作。但欧几里得却未能很好地处理他的数论研究。他证明了几个平淡的命题,如两个奇数之差是偶数等,然后,便以关于完全数的命题结束了第九篇。其实,他在第七篇的开始就曾对完全数的概念作出过定义,但后来似乎完全忘记了。终于,在第九篇的结尾处,完全数又重现了。

命题IX.36 如果从某一单位开始有任意多个数连续成倍比,直到各数之和成为素数;并用此和乘以最末一个数,则乘积一定是完全数。 

我们可以用现代术语更准确地说明欧几里得的意思:如果从1开始,一些2的几何级数项之和`1+2+4+8+……+2^n`是素数,则数字 `N=2^n~~(1+2+4 +8+……+2^n)`,即“最末”一个被加数`2^n`与这些数的和`1+2+4+8+……+2^n`的乘积,一定是一个完全数。

我们不必看欧几里得对这一命题的证明,只需看一两个具体数例即可。例如,1+2+4=7是素数,根据欧几里得定理,数字N= 4×7= 28是完全数。当然,我们已经证实了这一点。另一个例子, 1+2+4+8+16=31,是一个素数,那么,N=16×31=496也应该是完全数。为证明这一点,我们先列出496的真因数,即1、2、4、8、16、31、62、124和248,它们相加的和等于496,完全符合定义。

顺便提请读者注意,`1+2+4+……2^n`式中的数字不一定都是素数。例如,`1+2+4+8=15或1+2+4+8+16+32=63`就都是合数。欧几里得的完全数定理只能应用于那些其和恰好是素数的特殊情况。这样的素数,如7和31,我们今天称之为“梅森素数”,以纪念法国教士马兰·梅森(1588—1648年),他曾在1644年的一篇论文中讨论过这一题目。梅森素数因其与完全数的关联,时至今日,仍对数论学家有着特别的吸引力。

总之,欧几里得以其对命题IX.36的证明,为我们提供了一个构造完全数的绝好方法。我们将在后记中回到这一问题上来,并讨论其发展现状。

《原本》的最后几篇

从第七篇至第九篇,欧几里得共证明了102个有关整数的命题。然后,他在第十篇中突然改变方向,使第十篇成为《原本》十三篇中篇幅最长,并且,许多人认为,在数学上也是最复杂的一篇。欧几里得在第十篇的115个命题中,彻底阐述了不可通约量的问题,这个问题,我们今天可以用实数的平方根来表示。这些十分微妙的问题,有许多在技术上都是非常复杂的,涉及到许多需要慎重定义和验证的概念。试举一例:

命题X.96 如果一个面是由一个有理线段和一个第6余线构成的,那么,与此面相等的正方形的边是一个两中项面差的边。 

显然,弄清欧几里得诸如“余线”和“中项”这些术语的含义,进而理解他的这一命题,已经需要花费一些功夫,更不要说去弄清其后的证明了。对于现代读者来说,他的许多命题都已过时,因为这些问题现在用有理数与无理数系统就都可以很容易地解决。

《原本》的第十一至第十三篇探讨了关于立体几何或三维几何的基本原理。例如,第十一篇有39个命题研究了有关相交平面与相交平面角一类的立体几何问题。其中一个重要的命题是命题XI.21,在这一命题中,欧几里得提出了“立体角”(即三维角)的概念,例如,棱锥的顶角就是由三个或三个以上平面角会聚于一点形成的。欧几里得证明,会聚于棱锥顶点的所有平面角的和小于四个直角。虽然我们不必验证欧几里得巧妙的证明,但我们可以完全相信其命题,因为我们知道,一个由四个直角(用现代术语说,即360°)组成的立体角,其平面角可以“压扁”成一个平面,因而也就完全没有角了。命题XI.21将在《原本》最后一篇的最后一个命题中起到重要作用。

如果说第十一篇只涉及立体几何的基本命题,则第十二篇就进行了更深入的探讨。在第十二篇中,欧几里得应用了欧多克索斯的穷竭法来阐述锥体体积等问题。

命题XII.10 任何圆锥体的体积都等于与其同底等高柱体体积的三分之一(图3.7)。

成长吧啊成长吧啊

“……虽然这些性质始终是这些图形自然固有的,但在欧多克索斯之前,众多有才华的几何学家实际上并不知晓,而且也没有任何人去注意这些性质。”

在第十二篇中,还有另外两个非常重要的定理值得一提。其一是命题XII.2,令人惊奇的是,这是一个关于平面图形圆的定理。 

命题XII.2 圆与圆的面积之比等于其直径平方之比。

我们在前面讨论希波克拉底求新月形面积时曾见过这个命题。如前所述,这一命题提供了一个比较两个圆面积的方法,而不是已知直径或半径求一个圆的面积。

 现在,我们从略为不同的另一角度来看命题XII.2。设两个圆,一个圆的面积为`A_1`,直径为`D_1`;另一个圆的面积是`A_2`,直径是`D_2`,我们得出

成长吧啊

这一等式告诉我们,无论多大的圆,圆的面积与其直径的平方比总是一定的,数学家称这一比例为“常数”。这是一个非常重要的性质。但欧几里得未能对这一常数做出数值估计,也未能确立这一常数与我们在研究圆的过程中所遇到的其他重要常数之间的关系。总之,命题XII.2尽管给人深刻印象,仍有许多改进的余地。我们后面将介绍经阿基米德改进的这一命题,也即第四章的伟大定理。

与其相似的是第十二篇的最后一个命题,这一命题通过穷竭法,证明了“两个球体的体积之比等于其直径的三重比”。用现代术语说,这一有关球体体积的相对关系可以简单地表示为

成长吧啊

(注意,所谓“三重比”是古希腊人的说法,我们今天称之为立方。)欧几里得在这一命题中又提出了另一个重要常数——这一次是球体积与其直径的立方比,但欧几里得依然未能提出这一常数的数值估计。阿基米德于公元前225年在其无可争议的杰作《论球体和圆柱体》一书中再次解决了这一问题,对此,读者或许不应感到惊奇。

最后,我们来讨论第十三篇,也是欧几里得《原本》的最后一篇。他在这一篇的18个命题中探讨了所谓三维几何的“正立体”及其相互之间绝妙的联系。一个正立体,其所有构成平面应当都是全等的正多边形。我们最熟悉的正立体是立方体,即六面立体,其中每一个平面都是一个正四边形——即正方形。对于古希腊人来说,正立体体现了一种三维的美与对称,因此,认识正立体显然是他们优先考虑的问题。

在欧几里得时代,有五种正立体已为人们所认识——四面体(四面都是等边三角形的角锥体)、立方体、八面体(八面都是等边三角形)、十二面体(十二面都是正五边形)和五种中最复杂的二十面体(由等边三角形构成的二十面立体)。

对这些给人以美感的正立体(如图3.8所示),柏拉图于公元前约350年在其《梯迈乌斯篇》中曾刻意描述。柏拉图在书中特别考虑了构成世界的四大“元素”——火、气、水、土的性质。柏拉图认为,这四种元素显然都是物体,而所有物体都是立体。由于世界只能由完美的物体构成,所以,显然(至少对柏拉图是这样),火、气、水和土都一定是正立体,而剩下的问题只是要确定哪种元素呈哪种形状。

柏拉图在他的论证中提出了一个引人发笑的伪数学论断:“……气与水之比等于水与土之比”。对此,他的最后说明如下:

成长吧啊

火是四面体形状,因为火是四大元素中最小、最轻、最活跃和最锐利的物体,而四面体正适合火的这些特性。柏拉图说,土一定是立方体,因为立方体是五种立体中最稳定的形体;而水是四大元素中最活动的流体,其形状,或“种子”,一定是二十面体,因为这种形状最接近于球体,完全有可能轻松滚动。气在大小、重量和流动性方面都居中,所以,是由八面体构成的。柏拉图说:“我们必须想象所有这四种物体,每一种单位都非常小,肉眼看不见,只有大量聚集在一起时,我们才能分辨。”

然而,使柏拉图感到为难的是,这四大元素一一讲完,却还剩下一个正立体——十二面体没有去处。他强辩说,十二面体是“……上帝用来安排满天星座的”。换言之,十二面体代表了宇宙的形状。《梯迈乌斯篇》中的这一理论,即使算不得荒诞,也不免纯属空想,而这些正立体也从此被称为“柏拉图立体”。想到欧几里得据认为曾在柏拉图的雅典学园中学习过,就可以推测出这五种正立体对欧几里得有多么大的吸引力,以致要用它们来结束《原本》。

众所周知,几何学家很久以来即已知晓这五种正立体的存在。在《原本》的第465个命题和最后一个命题中,欧几里得证明了再没有其他正立体,几何学限定这些优美的立体形状只有五种,不多也不少。对此的简单证明乃是依据命题XI.21。他只要依据构成任何立体角的平面角之和一定小于四个直角或(用现代术语)小于360°的限制,来考虑构成正立体平面的多边形形状就可以了。

假设正立体的每一个平面都是等边三角形,因此,每一个平面角都是60°。当然,立体角一定是由三个或三个以上的平面相交形成的,因此,最小的立体角是由三个等边三角形构成立体的每一个顶角时形成的,因为三个角的和为3×60°=180°。这就是四面体。

我们还可以考虑立体的每一个顶角由四个等边三角形组成,因为四个角的和是4×60°=240°(八面体);或者,每一个顶角由五个等边三角形组成,因为五个角的和为 5×60°=300°(二十面体)。但是,如果我们让每一个项角由六个或六个以上的等边三角形组成,则平面角之和至少等于 6×60°=360°,而这样就违反了命题XI.21的限定。所以,以等边三角形为平面,不可能构成其他类型的正立体。

那么,正方形平面的正立体又如何呢?当然,正方形的每一个角等于90°,所以,三个正方形相交组成一个立体角,其平面角之和为3×90°=270°;这就是立方体。但是,如果由四个或四个以上正方形组成一个立体角,则平面角的和又至少等于 4×90°=360°,而这又是不可能的。因此,没有其他正立体能够具有正方形平面。

同样,正立体的平面还可能是正五边形。因为正五边形的每一个内角等于108°,所以,可以有三个正五边形组成一个立体角

(3×108°=324°<360°),但不能更多。这种正立体就是十二面体。

如果我们试图用正六边形、正七边形、正八边形等等正多边形平面组成正立体,则每一个平面角至少120°,即使由三个角组成一个最小的立体角,每一个立体角也会等于或大于360°。用欧几里得的话说,“由于同样不合理,一个立体角不能由其他多边形(超过正五边形的正多边形)构成。”

总而言之,欧几里得证明,除了这五种正立体外,不可能再有其他正立体存在——这五种正立体,有三种的平面是等边三角形,一种是正方形,一种是正五边形。任何努力和机巧都不可能产生此外的任何正立体。

至此,《原本》全部结束。2300年来,《原本》始终是一部卓越的数学文献。《原本》像所有经典著作一样,即使一读再读,作者的天才依然令人玩味。时至今日,读者仍能从其精妙的数学推理技巧中获得无穷的乐趣。我们最好还是引述托马斯·希思爵士的话来说明,他简洁明了地评价说:《原本》“……现在是,并无疑将永远是一部最伟大的数学教科书。”

后记

本章的伟大定理涉及到数论问题,因此,现在,我们不妨看一看在这一迷人的数学分支中一些十分重要而又常常引起争议的问题。数论的一个真正诱惑是它的猜想简单得甚至连小学生都能看懂,然而却使一代又一代世界一流数学家为它付出了艰苦的努力。这似乎就是这一数学分支看似反常的特点。

例如,“孪生素数”现象曾引起过数学家们极大的兴趣。所谓孪生素数,即两个相差2的相邻素数,如 3和 5,或 11和 13,或 101和103等。像素数本身一样,随着数值的不断增大,孪生素数也变得越来越稀少,人们随之必然会提出这样一个问题,“孪生素数的数量是有限的吗?”

这是一个十分简单的问题。并且,它于欧几里得2300年前在命题IX.2。中解决的问题很相似,似乎并不难回答。但是,直至今天,还没有一位数学家知道这个孪生素数问题的答案。也许,正如大多数数学家所猜想的那样,孪生素数的数量是无限的,但是,迄今为止,还没人能够证明这一点。或者,也许,在某一点之后,我们可以找到最大的一对孪生素数,但对此,同样没人能够证明。总之,情况之复杂,即使对欧几里得本人来说,也不过如此。这不免令人沉重而又沮丧。

数论中还有其他一些饶有兴趣,但却未能解决的难题。我们曾介绍过欧几里得的一个证明:如果括号中的项是素数,那么,任何可以写成

`2^n(1+2+4+8+……+2^n)`

形式的数字都是完全数。然而,他没有说这是唯一的完全数形式(但也没有说不是)。因此,许多数学家都曾试图发现不同于欧几里得公式的完全数。

迄今为止,人们仍然劳而无功。18世纪数学家莱昂哈尔德·欧拉在其遗作中证明,任何偶完全数都一定适合欧几里得的公式,即,如果N是一个偶完全数,那么,就一定存在一个正整数n,使得`N=2^n(1+2+4+8+……+2^n)`

这里,括号中的项必定是(梅森)素数。

欧几里得与欧拉合力,已完全解开了偶完全数的谜。剩下的全部问题是确定奇完全数的形式。遗憾的是,至今还没有人发现奇完全数。时至今日,究竟是否存在奇完全数,还是一个难解的谜。当然,这并不等于说,人们没有去寻找。几百年来艰苦的理论研究,特别是最近,利用高速计算机进行的理论研究,都未能发现一个既是奇数,又是完全数的整数,但这当然并不意味着,这种难以想象的奇完全数根本不存在。

数学家进退两难。他们既不能发现奇完全数,又无法证明奇完全数不存在。然而,这种困境却也产生了一种诱人的可能性。也许,有一天,有人会证明奇完全数根本不存在,这样,所有完全数就都是偶完全数,犹如欧几里得所示,因而,所有完全数都适合欧几里得的公式。如果是这种结果,则伟大的欧几里得在公元前300年时便已确立了囊括世界全部完全数的公式。果真如此,那将是一个非常了不起的转折。

本章以所有数论问题中一个最棘手的问题作为结束,即所谓“哥德巴赫猜想”。这一猜想最初出现于1742年一个数学迷克里斯蒂安·哥德巴赫(1690—1764年)的一封信中。哥德巴赫名声大振的主要原因就是他寄给欧拉的这封信。他在信中猜想,任何大于或等于4的偶数都可以表示成两个素数之和。欧拉倾向赞同哥德巴赫的猜想,但却苦于不知如何去证明。

像我们研究其他许多数论难题那样,我们不难用小数字来验证哥德巴赫的猜想。例如,4=2+2,28=23+5,以及96=89+7。哥德巴赫猜想特别引人注目,原因是它只涉及一些极为简单的概念,其仅有的几个技术性术语只是“偶数”、“素数”和“和”,而这几个术语的意思几分钟之内就可以给小孩子们讲明白。但是,自从哥德巴赫250年前寄出这封信以后,他的猜想却至今未能得到证明。

曾对哥德巴赫猜想作出了特殊贡献的是苏联数学家L.什尼尔里曼。据数学史家霍华德·伊夫斯记载,什尼尔里曼于1931年证明,任何偶数都可以写成不多于300,000个素数和的形式。鉴于哥德巴赫猜想要求仅用两个素数相加即得到任何偶数,什尼尔里曼的证明实际上整整多了299,998个素数。

在某种意义上说,什尼尔里曼的300,000个素数似乎是数学家的败绩,但同时也表明,虽然历史上曾经有过欧几里得与欧拉,但如今仍然有大量伟大的定理以其永恒的耐心在等待着证明。