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有理数

古埃及人约于公元前 17 世纪已使用分数,中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程 px=q(p≠0),如果 p, q 是整数,则方程不一定有整数解。为了使它恒有解,就必须把整数系扩大成为有理系。

关于有理数系的严格理论,可用如下方法建立。在 `Z×(Z –{0})` 即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系:设 `p_1,p_2 \in Z`,`q_1,q_2 \in Z  –  {0}`, 如果 `p_1q_2=p_2q_1`. 则称 `(p_1,q_2)~(p_2,q_1)`. `Z×(Z  –{0})` 关于这个等价关系的等价类,称为有理数. `(p,q)` 所在的有理数,记为 `\frac{p}{q}` . 一切有理数所成之集记为 Q。令整数 p 对应一于 `\frac{p}{l}`, 即 `(p,1)` 所在的等价类,就把整数集嵌入到有理数的集中。因此,有理数系可说是由整数系扩大后的数系.