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代数学简史

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代数学(algebra)是数学中最重要的分支之一。代数学的历史悠久,它随着人类生活的提高,生产技术的进步,科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中,代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展,而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。

代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。该著作名为”ilm  al-jabr  wa’I  muqabalah”,原意是“还原与对消的科学”。这本书传到欧洲后,简译为algebra。清初曾传入中国两卷无作者的代数书,被译为《阿尔热巴拉新法》,后改译为《代数学》(李善兰译,1853)。

初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论,主要研究某一方程(组)是否可解,怎样求出方程所有的根(包括近似根)以及方程的根所具有的各种性质等。

代数之前已有算术,算术是解决日常生活中的各种计算问题,即整数与分数的四则运算。代数与算术不同,主要区别在于代数要引入未知数,根据问题的条件列方程,然后解方程求未知数的值。这一类数学问题,早在古埃及的数学纸草书(约公元前1800年)中就有了启示,书中将未知数称为“堆”(一堆东西),并以象形文字表示。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法,在汉穆拉比时代(公元前18世纪)的泥板中,就载有二次方程问题,甚至还有相当于三次方程的问题。数学史家们曾为此发生过热烈争论:在什么意义下能把巴比伦数学看成代数?

古希腊时代,几何学明显地从代数学中分离出来,并在希腊科学中占统治地位,其威力之大,以至于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言:量被理解为长度,两个量之积解释为矩形、面积等。现在数学中保留的称二次幂为“平方”,三次幂为“立方”,就是来源于此。古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。该书中解决了某些一次、二次方程问题和不定方程问题,出现了缩写符号和应用负数之例。其问题构思精巧,解题方法极多,但最大的缺点是没有解方程的一般方法。

公元4世纪以后,希腊数学开始衰微,但印度和中东地区的数学却获得了相当可观的发展。7-8世纪的印度数学家主要研究不定方程的解法。在婆罗摩笈多的著作中,还给出了二次方程 `x^2+px-q=0` 的一个根的公式 `x=\frac {1}{2}(\sqrt{p^2+4q}-p)` 及某些不定方程的通解的一般形式。印度人已经用缩写文字和一些记号来表示未知数和运算。

在古代,只有希腊几何学从数学中分离出来,算术与代数在很长时期内都是交错在一起的,人们只能从中归纳出具有代数特点的问题,作为数学的历史痕迹。代数学发展成为一门独立的数学分支应归功于中世纪的阿拉伯人。阿拉伯数学家系统地研究了二次方程的解法,确定了解方程求未知量是代数学的基本特征,建立了解方程的变形法则,还特别创造了三次方程的几何解法。花拉子米的《代数学》传到欧洲后,作为标准课本流行了几百年,而奥马•还亚姆关于“代数学是解方程的科学”的观念一直保持到19世纪末。

中国古代在数学方面有光辉的成就。在古代数学名著《九章算术》(公元1世纪)中,记载了用算筹解一次联立方程组的一般方法。所采用的“正负术”中给出了负数的概念,建立了正、负数的运算法则。中国古代把开各次方和解二次以上的方程,统称为“开方”。在《周髀算经》和赵爽注以及《九章算术》和刘徽注中已经有完整的开平方法和开立方法。在二次方程 的数值解法和求根公式这两方面也有一定的成就。初唐王孝通的《缉古算经》的大部分内容是求三次方程的正根,还发展了三次方程的数值解法。宋元时期,中国数学家对高次方程的研究取得更加辉煌的成就。北宋数学家贾宪提出了著名的“开方做法本源图”(即贾宪三角)和增乘开方法,并用来解决二项方程近似根求法。南宋秦九韶把增乘开方法运用于高次方程,在高次方程数值解法问题上做出了具有世界意义的重大贡献。金、元之际数学家李冶研究列一元方程式的方法,创立“天元术”;元朝数学家朱世杰又把这种方法推广到高次方程组,创立“四元术”,为代数学的发展做出了新的贡献。

在中世纪的欧洲,对代数学有较大贡献的是意大利数学家斐波那契,他的《算盘书》(1202)是这一时期最重要的数学著作,其中系统地向欧洲人介绍了阿拉伯的算术和代数。书中载有一个有趣的“兔子繁殖问题”(见斐波那契兔子问题),导致有名的斐波那契级数的研究,后人发现这个级数有许多重要而有趣的性质,至今仍有人在研究,美国人在20世纪60年代初还创办《斐波那契季刊》,专门刊登这方面的新发现。

二次方程的求根公式在花拉子米时代就已经得到,但三次、四次方程的求根公式却直到15世纪还没有得到。16世纪上半叶,意大利数学家塔尔塔利亚首先得到了三次方程的一般解法,其方法却由另一位意大利数学家卡尔达诺抢先在他的著作《大术》(1545)中公布,为此引出一场风波,其中包括400多年前的著名的数学竞赛。三次方程的求根公式以“卡尔达诺公式”流传下来。四次方程的一般解法有卡尔达诺的学生费拉里得到。

在出现普遍适用的代数符号之前,代数方程理论的发展是缓慢的、曲折的。花拉子米的《代数学》完全用文字叙述,使用起来很不方便。丢番图和印度数学家都使用国一些缩写文字和记号,但很不系统,没有被后人采纳。在12世纪以后欧洲的代数学文献中陆续出现过一些简写法,包括一些运算的表示,如用 和 表示“加”和“减”等。到15世纪末,开始使用现代符号“+”和“—”来代替过去流行的繁琐语言表示数学运算。接着又有了幂及根式的符号,并且出现了括号。

符号代数学的最终确立是由法国数学家韦达完成的。他的《分析术入门》被西方数学史家推崇为第一部符号代数学。在本书中,用辅音字母表示已知数,用元音字母表示未知数。韦达还明确指出代数与算术的区别,前者是“类的算术”(施行于事物的类和形式的运算),后者是“数的算术”。于是代数学更带有普遍性,形式更抽象,应用更广泛。在稍后的工作里,韦达改进了三次、四次方程的解法。他还对n=2,3的情形,建立了方程的根与系数之间的关系,即现在被称为韦达定理的结果。后来笛卡尔改进了韦达创造的符号系统,用a,b,c…表示已知量,x,y.z…表示未知量。当代所是使用的大多数代数符号到17世纪中叶已基本确立。

17-18世纪中期,代数学被理解为在代数符号上进行计算的科学,用来研究与解方程有关的问题。这个时期最好的教科书之一是欧拉的《代数学入门》(1770),其内容包括整数、分数、方根、对数、一次到四次代数方程、级数、牛顿二项式和丢番图分析等,是对16世纪中期发展起来的符号代数学的系统总结。

18世纪对代数学的研究时常要服从分析学的需要,许多人甚至把分析看作代数的延伸。其实这一时期代数学的发展为19世纪的革命性变化奠定了基础。高斯研究了复数及其运算的几何表示,给出代数基本定理的第一个证明(1799)。法国数学家拉格朗日、旺德蒙德和意大利数学家鲁菲尼等研究五次以上代数方程的解法,发现根的有理函数与根置换对方程性质的深刻影响,看是认识到五次以上的代数方程用根式求解的不可能性。

在19世纪,代数学发生了革命性的变革。首先是挪威数学家阿贝尔证明了(1824-1826)五次以上的一般代数方程不可能用根式求解,并实质上引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念。紧接着(1832),法国数学家伽罗瓦对于高次方程是否能用根式求解问题给出更彻底的解答。他引进了置换群的正规子群、数域的扩域、群的同构等概念,证明了由方程的根的某些置换所构成的群(即伽罗瓦群)的可解性是方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦的工作并没有立即为人们所了解和接受,直到1870年才有法国数学家若当在他的著作《置换与代数方程》中给出第一个全面而清晰的阐述,他还补充了自己的新成果,这部著作大大地推进了置换群论的研究。

几乎与伽罗瓦的工作同时,英国数学家皮科克发表了他的《代数通论》(1830),其中对代数运算其本法则进行研究,试图建立一门更一般的代数,它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。英国数学家德•摩根和布尔在这方面也做出了重要尝试。这些工作预示了抽象代数学的产生。

另一项引起代数学变革的工作来自英国数学家哈密顿和德国数学家格拉斯曼,前者在1843年构造出第一个不满足乘法交换律的数学对象——四元数,后者则在1844年独立地得到更一般的具有n个分量的超复数理论。

在数论方面,由于对费马大定理的研究,德国数学家库默尔引进了“理想数”概念(1845-1847),在此基础上,戴德金发展了理想理论。这项工作不仅对代数数论的发展有着重要影响,而且开辟了抽象代数发展的道路。

在布尔的工作的影响下,英国数学家凯莱西尔维斯特共同创立了代数型的理论,奠定了关于代数不变量理论的基础。这项工作也是引向抽象代数学建立的动力。

自19世纪初以来,引起代数学的变革并最终导致抽象代数学产生的工作还可以列举一些,这些工作大致可分属于群论、代数数论和线性代数这三个主要方面。到19世纪末,数学家们从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征来进行公理化研究,完成了来自上述三个方面工作的综合,代数学终于从方程理论转向代数运算的研究。近代德国学派对这一步综合的工作起了主要作用。自19世纪末戴德金和希尔伯特的工作开始,在韦伯的3卷巨著的影响下,施泰尼茨于1911年发表了重要论文《域的代数理论》,对抽象代数学的建立贡献很大。20世纪20年代以来,以A.E.诺特和阿廷以及他们的同事、学生们为中心,抽象代数学得到空前的发展。荷兰数学家范德瓦尔登根据A.E.诺特和阿廷的讲稿于20世纪30年代初写成《近世代数学》,综合当时抽象代数学各方面的工作于一书,对于抽象代数学的传播和发展起了巨大的推动作用。

抽象代数学是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构的性质为其中心问题的。因此,抽象代数学对于全部现代数学和一些其他科学领域都有重要的影响。

随着数学中各分支理论的发展和应用的需要,抽象代数学得到不断的发展。在1933-1938年,经过G.D.伯克霍夫、冯·诺依曼、坎托罗维奇和斯通等人的工作,格论确定了在代数中的地位。而自20世纪40年代中期起,作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。泛代数、同调代数、范畴等新分支也被建立和发展起来。

在中国,抽象代数学的研究始于20世纪30年代。中国数学家已在许多方面取得了有意义的和重要的成果,其中以曾炯之、华罗庚周炜良的工作更为显著。