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二次函数

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二次函数定义:  一般地,如果 `y = a{x^2} + bx + c~(a,b,c是常数, a\neq 0)`, 那么 `y` 叫做 `x` 的一元二次函数(quadratic function).

注意:

(1)任何一个二次函数都可以化为 `y = a{x^2} + bx + c~(a,b,c是常数, a\neq 0)` 的形式, 通常把 `y = a{x^2} + bx + c~(a,b,c是常数, a\neq 0)` 叫做二次函数的一般形式;

(2) `y = a{x^2} + bx + c~(a,b,c是常数, a\neq 0)`, 自变量的取值范围是一切实数;

  • 二次函数的图像和性质

1.二次函数 `y=ax^2~(a\neq 0)` 的图像和特性二次函数

(1)抛物线 `y=ax^2~(a\neq 0)` 的顶点是原点,对称轴是 `y` 轴;

(2)函数 `y=ax^2` 的图像与 `a` 的符号关系:

①当 `a>0` 时 `\iff` 抛物线开口向上 `\iff` 顶点为其最低点;

②当 `a<0` 时 `\iff` 抛物线开口向下 `\iff` 顶点为其最高点.

2.二次函数 `y = a{x^2} + bx + c` 的图像是对称轴平行于 `y` 轴的抛物线(包括和 `y` 轴重合).

3.二次函数 `y = a{x^2} + bx + c` 用配方法可化成:`y = a{\left( {x - h} \right)^2} + k` 的形式,其中 `h=-\frac{b}{2a},~k=\frac{4ac-b^2}{4a}`.

4.抛物线 `y=ax^2+bx+c` 的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

(1) `a` 决定抛物线的开口方向:

当 `a>0` 时,开口向上;当 `a<0` 时,开口向下; `|a|` 越小,抛物线的开口越大, `|a|`越大,抛物线的开口越小.二次函数

(2)对称轴为平行于 `y` 轴(或重合)的直线,记作 `x=h` .特别地, `y` 轴记作直线 `x=0`.

(3)顶点是抛物线的最值点[最大值( `a<0` 时)或最小值( `a>0` 时)],坐标为 `(h,k)`.

5.求抛物线的顶点、对称轴的方法:

(1)公式法: `y = a{x^2} + bx + c = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}`,

∴顶点是 `( - \frac{b}{{2a}},~\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}})`, 对称轴是直线 `x =  - \frac{b}{{2a}}`.

(2)配方法: 运用配方法将抛物线的解析式化为 `y = a{\left( {x - h} \right)^2} + k` 的形式,得到顶点为 `(h,~k)`,对称轴是 `x=h`.

(3)运用抛物线的对称性: 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

6.抛物线 `y = a{x^2} + bx + c` 中, `a,b,c` 的作用

(1) `a` 决定开口方向及开口大小,这与 `y = a{x^2}` 中的 `a` 完全一样.二次函数坐标平移

(2) `b` 和 `a` 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 `y = a{x^2} + bx + c` 的对称轴是直线 `x =  - \frac{b}{{2a}}`,故:

① `b=0` 时,对称轴为 `y` 轴;

② `\frac{b}{a} > 0` 时,对称轴在 `y` 轴左侧;

③ `\frac{b}{a} < 0` 时,对称轴在 `y` 轴右侧.

(3) `c` 的大小决定抛物线 `y = a{x^2} + bx + c` 与 `y` 轴交点的位置.

当 `x=0` 时,`y=c`,∴抛物线 `y = a{x^2} + bx + c` 与 `y` 轴有且只有一个交点 `(0,c)`:

① `c=0`,抛物线经过原点; ② `c>0`,与 `y` 轴交于正半轴;③ `c<0`,与 `y` 轴交于负半轴.

以上三点中,当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在 `y` 轴右侧,则 ` \frac {b}{a} < 0 `.

7.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:

① `y = a{x^2}`;② `y = a{x^2} + k`;③ `y = a{\left( {x - h} \right)^2}`;④ `y = a{\left( {x - h} \right)^2} + k`;⑤ `y = a{x^2} + bx + c`.

图像特征如下:

二次函数图像特征
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
`y=ax^2`

当 `a>0` 时,开口向上;

当 `a<0` 时,开口向下.

`x=0~(y=轴)` `(0,0)`
`y = a{x^2} + k` `x=0~(y=轴)` `(0,k)`
`y = a{\left( {x - h} \right)^2}` `x=h` `(h,0)`
`y = a{\left( {x - h} \right)^2} + k` `x=h` `(h,k)`
`y = a{x^2} + bx + c` `x=-\frac{b}{2a}` `( - \frac{b}{{2a}},~\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}})`

 

8.用待定系数法求二次函数的解析式

 (1)一般式:`y = a{x^2} + bx + c`.已知图像上三点或三对 `x`、`y` 的值,通常选择一般式.

 (2)顶点式: `y = a{\left( {x - h} \right)^2} + k`.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

 (3)交点式:已知图像与 `x_1` 轴的交点坐标 `x_1`、`x_2`,通常选用交点式:`y = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)`.

9.直线与抛物线的交点(或称二次函数与一次函数关系)二次函数

(1) `y` 轴与抛物线 `y = a{x^2} + bx + c` 得交点为 `(0,c)`.

(2)与 `y ` 轴平行的直线 `x=h` 与抛物线 `y = a{x^2} + bx + c` 有且只有一个交点 `(h,~a{h^2} + bh + c)`.

(3)抛物线与 `x` 轴的交点

二次函数 `y = a{x^2} + bx + c` 的图像与 `x` 轴的两个交点的横坐标 `x_1,~x_2`,是对应一元二次方程 `a{x^2} + bx + c = 0` 的两个实数根. 抛物线与 `x` 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点 `\iff~~\Delta >0 ~~ \iff` 抛物线与 `x` 轴相交;

②有一个交点(顶点在 `x` 轴上) `\iff~~\Delta =0~~\iff` 抛物线与 `x` 轴相切;

③没有交点 `\iff~~\Delta  < 0 ~~ \iff` 抛物线与 `x` 轴相离.

(4)平行于 `x` 轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有 `0` 个交点、`1` 个交点、`2` 个交点.当有 `2` 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 `k`,则横坐标是 `a{x^2} + bx + c = k` 的两个实数根. 而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定.

(5)一次函数 `y = kx + n\left( {k \ne 0} \right)` 的图像 `l` 与二次函数 `y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)` 的图像 `G` 的交点,由方程组  `\left\{ \begin{array}{l} y = kx + n\\ y = a{x^2} + bx + c \end{array} \right. `  的解的数目来确定:

①方程组有两组不同的解时 `\iff ~~ l` 与 `G` 有两个交点;

②方程组只有一组解时 `\iff ~~ l` 与 `G ` 只有一个交点;③方程组无解时 `\iff~~l` 与 `G` 没有交点.

(6)抛物线与 `x` 轴两交点之间的距离:若抛物线 `y = a{x^2} + bx + c` 与 `x` 轴两交点为 `A\left( {{x_1}{\rm{,}}0} \right){\rm{,}}B\left( {{x_2}{\rm{,}}0} \right)`,由于 `x_1`、 `x_2` 是方程 `a{x^2} + bx + c = 0` 的两个根,故由韦达定理知:`{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a},{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}`,\[AB = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{{\left( { - \frac{b}{a}} \right)}^2} - \frac{{4c}}{a}}  = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{\left| a \right|}} = \frac{{\sqrt \Delta  }}{{\left| a \right|}}. \]

10.二次函数与一元二次方程的关系:

(1)一元二次方程 `0 = a{x^2} + bx + c` 就是二次函数 `y = a{x^2} + bx + c` 当函数 `y` 的值为 `0` 时的情况.

(2)二次函数 `y = a{x^2} + bx + c` 的图象与 `x` 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数 `y = a{x^2} + bx + c` 的图象与  `x` 轴有交点时,交点的横坐标就是当 `y=0` 时自变量 的值,即一元二次方程 `a{x^2} + bx + c = 0` 的根.

(3)当二次函数 `y = a{x^2} + bx + c` 的图象与 `x` 轴有两个交点时, 则一元二次方程 `y = a{x^2} + bx + c` 有两个不相等的实数根;当二次函数 `y = a{x^2} + bx + c` 的图象与 `x` 轴有一个交点时,则一元二次方程 `a{x^2} + bx + c = 0` 有两个相等的实数根;当二次函数 `y = a{x^2} + bx + c` 的图象与 `x` 轴没有交点时,则一元二次方程 `a{x^2} + bx + c = 0` 没有实数根.

11.二次函数的应用

(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值. 一般而言,最大(小)值会在顶点处取得,达到最大(小)值时的  `x` 即为顶点横坐标值,最大(小)值也就是顶点纵坐标值.

(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.