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数的创生(一)方程的解

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人们最初产生了自然数 1, 2, 3, ...... 的概念,后来产生了 0 和负数的概念。这些概念虽然已经成为最简单的常识,但它们实际上是非常抽象的概念。人类可能已经进化出了理解这一类抽象概念的基因,这才使得 ”学习数字“ 成为很简单的事情。这种把具体而复杂的事物抽象为简单概念的过程,就是 ”数学“ 这门学科的发展过程。而到了21世纪,人们已经开始反思,这个过程是否过多地隐藏了世界呈现给我们的重要信息?我们也许应该从抽象的数学对象和它们之间简单的相互关系返回到它们所代表的、更为复杂丰富的事物及其相互关系。这就是本世纪数学界所谓 “范畴化” 浪潮。这是一点题外话,可能是另一篇帖子的主题。现在我们开始谈谈“数”。

引进 0 和负数自然有很多历史的理由,但从抽象的观点来说,可以理解成是为了使 “减法” 对任意选取的两个自然数有意义。同理,引进 “分数” 是为了使 “除法” 对任意选取的两个自然数有意义。负数概念和分数概念使我们有了最 “自然” 的所谓 “数系”,所有 “有理数”。在这个数系里,可以几乎自由地做 “加、减、乘、除” 运算。古希腊的毕达哥拉斯学派曾经认为有理数就是所有的宇宙奥秘。从数学的角度来说,这几乎是对的。其它一切 “数” ,进而大多数数学对象,都可以认为是从有理数系里面衍生出来的,而且是纯粹思维的产物。只有有理数是现实中 ”可见“ 的,或者说,”可操作“ 的。

发现无理数的过程大家可能都听说过,最初认识到有理数之外的数可能存在的人遭到了毕达哥拉斯学派 ”卫道士“ 们的血腥屠杀。但是历史的洪流是任何力量阻挡不了的,无理数还是迅速在人类的思维中占有了一席之地。从有理数系到实数系的扩展已经是更抽象的数学过程,大学里只有两三个非常依赖数学的专业才要求掌握其严格表述。直观上看,从有理数到实数可以看作一个从有限到无限的扩展。我们小学就已经学到了 ”循环小数“ 和 ”无限不循环小数“。有限长度的小数和循环小数都可以看作某种程度上有限的东西(至少可以用有限的表达式表示),而无限不循环小数是真正无限的东西,本质上是不可操作的、纯思维的对象。所有的小数构成了实数系。

通常大家认为,复数是比实数更复杂的东西。但事实并非如此。有些复数比有些实数要简单得多。比如,虚数单位 i 就比圆周率 π 要简单得多。 i 就是二次方程 `x^2+1 = 0` 的一个解。而这个方程的系数特别简单。圆周率 π 是某个系数为有理数的多项式方程的解吗?不是。但要证明这一点却不容易。可以看到,像虚数单位 i 这种数可以从整数出发经过有限的、可操作的步骤扩展出来(列出一个方程,然后定义 ”新的数“ 为此方程的解,即,这个方程就是这个新定义的数满足的全部关系,从而可以作为这个 ”数“ 的定义。比如,我们所要知道的关于虚数单位 `i` 的全 部信息就是 `i^2+1=0`, 有了这个关系,我们就可以自由地使用它了。)显然,被称为 ”平方根“、”立方根“ 的那些数都是如此定义的。就像 `\sqrt{2}` 这个符号,它只是个抽象的符号而已,其实我们只知道并且只需要知道它的平方等于 2.

我们现在看到一种可操作的产生新数的办法,它不同于以往产生新数的办法,以往是为了让旧有的数之间直接的 ”运算“ (减法、除法)总是有意义而产生的新数,而现在这种办法是为了我们总能解出以旧有的数为系数的 ”多项式方程“ 而产生的新数。以有理数为系数的多项式方程的解称为 ”代数数“。虚数单位就是一个 ”代数数“,整数的平方根也是 ”代数数“。代数数之间同样可以自由进行加减乘除运算,同时,还可以自由进行开方、解代数方程的操作。这种产生新数的办法一旦建立,其威力无穷。古希腊尺规作图三大难题马上就有了结论。

尺规作图,咱们中国古人从来不计较什么规矩。这里规矩应该加引号,因为规矩本来就是指圆规和两把互相垂直钉在一起的尺(一把叫勾,一把叫股)。所以按照原意,咱们中国古人作图还是有 “规矩” 的。咱们的 “规矩” 上面画满了刻度,作起图来好用得很。当时的西方人,古希腊人,贫富两极分化太厉害,所以有一部分富人开始瞎想。这又跟如今中国两极分化的情况不同,如今好像是穷人才爱瞎想。再说古希腊人,他们喜欢没有刻度的尺(没有他们这类怪癖就没有现代科学),古希腊人希望用没有刻度的直尺和圆规做以下这三件事:

1. 倍方:给定一个立方体,存在一个大立方体,体积是原来那个的两倍。用尺规作出大立方体的边长。

2. 化圆为方:给定一个圆,存在一个正方形,面积等于这个圆的面积。用尺规作出这个正方形的边长。

3. 三等分角:任给一个角,用尺规把它三等分。

这几个问题合称 “古希腊三大难题”。其实比这几个更难的作图题还有很多,因为这几个看上去特别简单,所以有名。之后大约两千年都没有人能作出来。到了19世纪,终于有个人能够证明三等分角问题是不可解的。值得注意的是, 这个问题不可解, 是指不存在一个作图程序来三等分 "任意" 的角. 有些特殊的角是可以用尺规三等分的, 比如直角.

后来不久,经过两个英年早逝的天才 Abel 和 Galois 的工作,人们了解到这三个问题有共同的背景------数域的扩张。“ 域”,简单的说就是一些可以做加减乘除的东西放在一起组成的集合,条件是,四则运算的结果必须还在这个集合里。全体自然数不是一个域,因为两个自然数的差就不一定是自然数了;全体整数也不是一个域,因为除法的结果不一定是整数。全体有理数组成一个域 `Q`, 全体实数组成一个域 `R`, 全体复数组成一个域 `C`.

还能有些什么域?比如所有这种数: `a+b\sqrt{3}` 其中 a, b是有理数,就组成一个域,因为这些数加减乘除以后还是这种形式。这个域比有理数域大. 大多少?可以用 “次数” 来衡量------每个这种数需要两个有理数来表示,所以扩张次数是2。这是域扩张的最简单的例子。望文生义,域扩张就是把一个域扩大到更大的一个域。

再看这个扩张:要找一个域,包含有理数以及 1 的某个立方根 `w`. 现在所有 `a + bw` 就不够了。要对乘法封闭,必须包含 `w^2`. 所以这个域的每个数都写成 `a + bw + c w^2` , 其中 `a,b,c` 是有理数. 这个在有理数域上的扩张的次数是 3 次。

现在来看尺规作图与域的扩张之间的关系。用尺规可以做两条互相垂直的直线,然后可以把两条直线标上刻度 (用圆规),然后把这个刻度拓展到全平面得到方格点。把这些格点看成坐标是整数的点。然后所能做的事情是,连接两个格点得到一条直线,或者以某个格点为中心,以到另一格点的距离为半径画圆。这些直线和圆的方程的系数都是整数(至少是有理数). 它们之间的交点由解方程组得到。初中数学告诉我们,这些交点的坐标要么是有理数,要么是一些二次方根和有理数做四则运算的结果 (因为圆方程是二次的)。比如直线 `x=y` 和圆 `x^2+y^2 = 1` 的交点就是 `(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})`. 在这些交点的基础上再用尺规作图,交点的坐标应该是一些二次方根里面套二次方根的数,比如

`\sqrt{3+5\sqrt{7}}`.

满足的有理系数代数方程中次数最低的一个是 `(x^2 -3)^2 = (5 \sqrt{7} )^2 = 175`. 其次数为 4.

现在很快就能解释倍方问题为什么不可解:倍方问题相当于要作出 2 的 "立方根" `3\sqrt{2}` ,它满足的次数最低的有理系数方程是 3 次的 `x^3 = 2`. 根据上面的分析,尺规作图不可能做出这样的数。

三等分角问题还要费一番周折。作出一个角,等价于作出这个角的某个三角函数,比如余弦。一个角 `θ` 的余弦和它的三等分角 `θ/3` 的余弦之间的关系是一个三次关系 `\cos (θ)=4 \cos 3(θ/3)-3 \cos (θ/3) `. 等式左边是已知的,所以这个关系是关于三等分角余弦的一个3次有理系数方程。这里可能需要一点小技巧来证明对于一般的角 θ 这个方程就是要求用尺规作出来的那个数满足的次数最低的有理系数方程。这样,根据以前的分析,这个 `\cos (θ/3)` 不可能用尺规做出来。在一些特殊情形, 比如 `θ=90` 度, `\cos (θ)=0`, 两边消去 `\cos(θ/3)`, 可知现在 `\cos(θ/3)` 满足一个二次方程。之前的分析并不能排除用尺规作出这个角(30度)的可能。实际上,直角的确可以用尺规三等分。

化圆为方问题就更复杂,涉及到圆周率 `\pi` 这个数到底满足一个什么样的有理系数方程。可以证明 其实不满足任何有理系数方程。这种数有个名字,超越数。尺规是作不出超越数来的,所以化圆为方是不可能的。

总结:有理数系在 “域的扩张” 这种有限的代数操作下产生新的数,包括一些有理数构成的根式。它们放在一起组成一个新的数系(而且是一个 “数域”,即可以进行加减乘除运算),称为 “代数数”。有理数域和代数数域之间存在很多中间域,比如所有尺规作图能作出来的数组成的域。

下一集我们来看看另一种由有理数产生新数的办法 ------ 赋值完备化。实数就是这么产生的。还会看到一些非常奇怪的数 (p-adic 数) 也是这么产生的。在数论研究中这些数尤其重要。 来源:songshuhui.net/archives/48518

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