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从欧拉示性类到Morse理论

欧拉示性类到Morse理论

贺正需 崔贵珍 沈良

    拓扑是现代数学的一个很大的分支,近代数学可以说基本上是围绕拓扑发展的。有人作过统计,说获得菲尔兹奖的人中有二分之一是作拓扑研究的,当然这个统计有争议,但即使没有这么多,至少也有三分之一的人是在拓扑领域的,剩下的二分之一和三分之一之间,有一部分人可以说是作拓扑,也可以说是分析或者别的领域,所以说,这个理论对现代数学的影响确实很大。这个理论的教父就是18世纪最伟大的数学家欧拉,他所作的贡献遍布整个数学的领域。

    我今天要讲的是示性类和Morse理论,因为那时拓扑还处于萌芽阶段,所以问题都比较简单,你们绝对能听懂.欧拉当时的研究是从多面体开始的,我们今天也从多面体开始讲。

1  欧拉示性类

1.1  多面体

1.2  欧拉示性类

    定义 设多面体的顶点数为V、边数为E、面数为F。c=V―E+F为多面体的欧拉示性类。

下面我们列一个图表:

 

顶点数V

边数E

面数F

c=V―E+F

正四面体

4

6

4

2

正六面体

8

12

6

2

正八面体

6

12

8

2

正十二面体

20

30

12

2

正二十面体

12

30

20

2

 

亏格为0的多面体都是单连通的,这个现象就是欧拉定理:

    定理  任何单连通多面体的欧拉示性类等于2:c=V―E+F=2.

    这个定理是整个拓扑学奠基的一个定理。因为凸多面体都是单连通的,所以我们有推论:

    推论  对于任何凸多面体,其欧拉示性类等于2。

    对于有亏格的多面体,我们也有结论:

    定理  对于亏格为g的多面体,其欧拉示性类为2—2g.

1.3  对拓扑学的影响

拓扑是上个世纪才形成的一个学科,简单地说,拓扑研究的就是像欧拉示性类这样的量,它是连续变化中的不变量,并且我们还可以考虑将这种量推广到高维的情形,如对n维流形,我们有定义:

c=A0一Al+A2一A3+……+(一1)nAn,

其中A0=顶点数,A1=边数,A2=面数,A3=三维多面体数,…

    欧拉示性类是拓扑学的一个基本概念,对现代数学,理论物理等学科的发展起了关键作用。

1.4  应用

    作为欧拉示性类的一个有趣的应用,我们来证明一个古典的定理:

    定理  除了前面提到的五种正多面体外,不存在第六种单连通的正多面体。

    这个定理的证明可以用几何的方法,但最好的证明我认为是用拓扑的方法,因为它不用考虑角度,多面体可以放在任何空间,比如说双曲空间中也是不存在第六种正多面体的,下面这个证明对于任何空间的多面体都是成立的。

    证明  任给一个正多面体,设它有V个顶点,E条边,F个面;每个顶点过k条边,每个面是j边形。

    因为每条边有2个顶点,每条边是2个面的交线,所以我们有kV=2E,jF=2E,而欧拉示性类c=V―E+F=2.因此我们有

  c=V―E+F=2E/k―E+2E /j=2,故1/k +1 /j=1/2+1/E。

  因为k,j,E都是正整数,经过初等计算,所有可能的(k,j,E)为:

(3,3,6),(3,4,12),(4,3,12),(3,5,30),(5,3,30).

    以上的五个解正好对应于五种正多面体,所以不存在第六种正多面体。

1.5  多面体的对偶性

    定义  给一个平面图,每个面用一个点代替,有公共边的两个面所对应的点用线段连接,则得到一个新的图,称之为对偶的图。

    性质  每个多面体都有对偶,对偶的对偶是自己。

1.6  正多面体的对偶

    正四面体的对偶是它自己;

    正六面体的对偶是正八面体,正八面体的对偶是正六面体;

    正十二面体的对偶是正二十面体,正二十面体的对偶是正十二面体。

    (V,E,F)→(F,E,V)

2  Morse理论

    Morse理论是建立在欧拉示性类基础上的,在任何维数都成立.其研究流形上光滑函数的临界点与流形本身拓扑结构之间的关系,是拓扑学中重要的理论,在现代数学中有着极为重要的作用。

2.1  一维情形

    圆周是一个一维流形,设F是圆周上的光滑实函数,考察使得导数F'为0的点。

设G(t)=F(expit),G(t)的周期为2π。

    那么Morse理论就是局部最大值的个数等于局部最小值的个数。

2.2  二维情形

    设想高低起伏的岛,F是高度函数(F(x,y)是坐标(x,y)点的高度)。考察它的峰点,洼点,以及如图所示的马鞍点(过山点)。

    设V是峰点数,P是洼点数,S是马鞍点数。

    Morse定理  对于任何(随意构造)的岛,V—S+P=1。

2.3  欧拉示性类的另一个应用

    圆形水池的水流:

Figure  在漩涡中心水速为零

    Brouwer不动点定理(二维情形)  不论水池中的水流多么复杂,总能找到一点,它的水速为零。

    此定理在高维也成立。

    在三维情形下,定理可以叙述为:在一个完全密封的房间里(空气可以在房间里任意流动),总能找到一点,它的风速为零。

    证明的基本思想是欧拉示性类。

2.4  后续发展

    欧拉示性类的后续发展:Pontryagin示性类,Stiefel-Whitney示性类,陈省身示性类;

    应用:拓扑,几何,分析,物理;

    指标定理,规范场论,弦理论,等等;

    华人数学家丘成桐证明的Calabi—Yau定理.

摘自《数学通报》